Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
14. lim x infty(e^x-x^e)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(e^x - x^er)
O conteúdo principal aqui é comparar a taxa de crescimento de uma função exponencial e^x com a de um função potência x^e. Sabemos da teoria de crescimento de funções que exponenciais crescem muito mais rápido que potências.

Passo 2

Para comparar rigorosamente, escrevemos x^e em termos de exponencial:
x^e = e^lnl(x^er) = e^e,ln x
Assim, a expressão fica
e^x - x^e = e^x - e^e,ln x

Passo 3

Uma forma clássica é verificar o quociente
x^ee^x = e^e,ln x - x = e^-(,x - e,ln x)
Quando xtoinfty, x cresce muito mais rápido que ln x, logo x - e,ln xtoinfty. Portanto
x^ee^xto0

Passo 4

Voltando ao limite original, fatoramos e^x:
e^x - x^e = e^xl(1 - x^ee^xr)
Como x^ee^xto0, o parêntese tende a 1. Logo
e^xl(1 - x^ee^xr)sim e^xcdot1,
e como e^xtoinfty, a diferença também diverge para +infty.

Resposta

limxtoinftyl(e^x - x^er) = +infty

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