Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
[ccc0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
e pede para classificar em relação a: simétrica ( A^T = A), anti-simétrica ( A^T = -A), hermiteana ( A^dag>=r = A), anti-hermiteana ( A^dag>=r = -A) ou unitária ( A^dag>=r A = I). Como A é real, vale A^dag>=r = A^T. Vamos então calcular o transposto e testar cada definição.

Passo 2

Calculemos o transposto de A:
A^T = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Como todos os elementos são reais, também temos A^dag>=r = A^T.

Passo 3

Teste de simetria e anti-simetria:
  • Para ser simétrica precisaríamos de A^T = A, mas as posições (1,2) e (2,1) trocam de sinal, logo A^T neq A.
  • Para ser anti-simétrica precisaríamos de A^T = -A, porém o elemento (3,3) 1 = -1, o que falha.
    Como A^T = A^dag>=r, os mesmos testes eliminam também as possibilidades hermiteana e anti-hermiteana.

Passo 4

Teste de unitariedade (ortogonalidade no caso real):
A^dag>=r A = A^T A = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Portanto A satisfaz A^dag>=r A=I, logo é unitária.

Resposta

A matriz é unitária.

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