Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
e pede para classificar em relação a: simétrica (A^T = A), anti-simétrica (A^T = -A), hermiteana (A^dag>=r = A), anti-hermiteana (A^dag>=r = -A) ou unitária (A^dag>=r A = I). Como A é real, vale A^dag>=r = A^T. Vamos então calcular o transposto e testar cada definição.
Passo 2
Calculemos o transposto de A:
A^T = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Como todos os elementos são reais, também temos A^dag>=r = A^T.
Passo 3
Teste de simetria e anti-simetria:
Para ser simétrica precisaríamos de A^T = A, mas as posições (1,2) e (2,1) trocam de sinal, logo A^T neq A.
Para ser anti-simétrica precisaríamos de A^T = -A, porém o elemento (3,3) dá 1 = -1, o que falha.
Como A^T = A^dag>=r, os mesmos testes eliminam também as possibilidades hermiteana e anti-hermiteana.
Passo 4
Teste de unitariedade (ortogonalidade no caso real):