Sejam ai com i=1,2, ldots, n números estritamente positivos. Mostre que: se esses números, nessa ordem, são termos de uma PG então os respectivos termos, obtidos tomando o seu logaritmo, são termos de uma PA.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de números estritamente positivos aii=1^n e afirma que ela é uma progressão geométrica (PG). Queremos mostrar que a sequência log(ai)i=1^n é uma progressão aritmética (PA). Para isso, vamos usar a definição de PG, a definição de PA e a propriedade fundamental do logaritmo:
log(xy)=log(x)+log(y)

Passo 2

Por definição, ai é PG se existe uma razão r>0 tal que, para todo i=1,2,dots,n-1, vale
ai+1ai=r Long<=ftrightarrow ai+1=r,ai

Passo 3

Tomando logaritmo em ambos os lados de ai+1=r,ai, obtemos
logl(ai+1r) =log(r,ai) =log(r)+logl(air)
Dessa forma, para todo i,
logl(ai+1r)-logl(air) =log(r),
que é uma constante independe de i.

Passo 4

Como a diferença entre termos consecutivos de log(ai) é sempre a mesma ( log(r)), concluímos que log(ai) é uma PA de razão
log(r)

Resposta

A sequência llog(ai)ri=1^n é uma progressão aritmética de razão log(r).

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