Sejam
com
números estritamente positivos. Mostre que: se esses números, nessa ordem, são termos de uma PG então os respectivos termos, obtidos tomando o seu logaritmo, são termos de uma PA.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de números estritamente positivos
e afirma que ela é uma progressão geométrica (PG). Queremos mostrar que a sequência
é uma progressão aritmética (PA). Para isso, vamos usar a definição de PG, a definição de PA e a propriedade fundamental do logaritmo:
Passo 2
Por definição,
é PG se existe uma razão
tal que, para todo
, vale
Passo 3
Tomando logaritmo em ambos os lados de
, obtemos
Dessa forma, para todo
,
que é uma constante independe de
.
Passo 4
Como a diferença entre termos consecutivos de
é sempre a mesma (
), concluímos que
é uma PA de razão
Resposta
A sequência
é uma progressão aritmética de razão
.