Encontre a função y=y(x) tal que d^2 yd x^2=1(3 x+8)^2 y^prime(-3)=133 y(-3)=-2

Passo 1

Resumo: a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem dada por d^2ydx^2=1(3x+8)^2. O conteúdo é equações diferenciais e integração indefinida. Para resolver, vamos integrar essa expressão duas vezes e usar as condições y'(-3)=tfrac133 e y(-3)=-2.

Passo 2

Pra achar y', a gente integra d^2ydx^2=(3x+8)^-2. Lembrando que, pela regra de potências, integral u^n,du=u^n+1n+1. Fazendo substituição u=3x+8, du=3,dx, fica integral(3x+8)^-2dx=-tfrac13(3x+8)+C1. Então: y'=-tfrac13(3x+8)+C1.

Passo 3

Agora usamos a condição y'(-3)=tfrac133. Calculando 3(-3)+8=-1, temos y'(-3)=-tfrac13cdot(-1)+C1=tfrac13+C1. Igualando a tfrac133, obtemos C1=4.

Passo 4

Com C1=4, temos y'=-tfrac13(3x+8)+4. Para achar y, integramos: integral-tfrac13(3x+8)dx=-tfrac19lnlvert3x+8rvert e integral4,dx=4x. Então y=-tfrac19lnlvert3x+8rvert+4x+C2.

Passo 5

Por fim, aplicamos y(-3)=-2. Como lnlvert3(-3)+8rvert=ln1=0, fica -2=-tfrac19cdot0+4(-3)+C2=-12+C2, o que dá C2=10.

Resposta

y(x)=-19lnlvert3x+8rvert+4x+10

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