Verifique se o campo
é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva.
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial da qual ele deriva. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como verificar se um campo é conservativo usando os critérios de condições de integrabilidade e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar $ \phi(x, y, z) $ tal que
. Isso implica que as derivadas parciais misturadas devem ser iguais, ou seja:
Vamos verificar essas igualdades para o nosso campo
. Aqui, $ P = y \sin x $, $ Q = x \sin x $, e $ R = x y \cos z $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
A primeira condição exige que
, ou seja,
. Isso só é verdade se
, o que não é válido para todo
. Portanto, já vemos que o campo
não satisfaz a primeira condição necessária para ser conservativo.
Passo 4
Como a primeira condição já não foi satisfeita, não precisamos verificar as outras derivadas parciais. Isso significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo, portanto não existe uma função potencial
tal que
.