Verifique se o campo F é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva. F=y sin x i+x sin x j+x y cos z k.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial F é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial da qual ele deriva. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como verificar se um campo é conservativo usando os critérios de condições de integrabilidade e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F = Pi + Qj + Rk é conservativo se existe uma função escalar $ \phi(x, y, z) $ tal que phi(x, y, z) . Isso implica que as derivadas parciais misturadas devem ser iguais, ou seja:
F = nabla phi
Vamos verificar essas igualdades para o nosso campo partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y . Aqui, $ P = y \sin x $, $ Q = x \sin x $, e $ R = x y \cos z $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. partial Ppartial y = partialpartial y(y sin x) = sin x
  2. partial Qpartial x = partialpartial x(x sin x) = sin x + x cos x
A primeira condição exige que partial Ppartial y = partial Qpartial x, ou seja, sin x = sin x + x cos x. Isso só é verdade se x cos x = 0, o que não é válido para todo x. Portanto, já vemos que o campo F não satisfaz a primeira condição necessária para ser conservativo.

Passo 4

Como a primeira condição já não foi satisfeita, não precisamos verificar as outras derivadas parciais. Isso significa que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo F não é conservativo, portanto não existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi.

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