Verifique se o campo
é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o campo vetorial
. Precisamos verificar se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial da qual
deriva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função potencial
. Isso significa que:
No nosso caso, isso se traduz em:
Passo 3
Para verificar se o campo é realmente conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Isso garante que a função potencial
existe de fato.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial da primeira componente de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial da segunda componente de
em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas obtidas:
Vemos que
para valores gerais de
e
. Isso significa que as derivadas cruzadas não são iguais.
Resposta
Como as derivadas cruzadas não são iguais, o campo
não é conservativo.