Verifique se o campo F é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva. F=3 x^4 y^3 i+x^3 y j.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o campo vetorial F = 3x^4 y^3 i + x^3 y j. Precisamos verificar se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial da qual F deriva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função potencial phi(x, y). Isso significa que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y )
No nosso caso, isso se traduz em:
partial phipartial x = 3x^4 y^3 e partial phipartial y = x^3 y

Passo 3

Para verificar se o campo é realmente conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
partialpartial y ( partial phipartial x ) = partialpartial x ( partial phipartial y )
Isso garante que a função potencial phi existe de fato.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial da primeira componente de F em relação a y:
partialpartial y ( 3x^4 y^3 ) = 9x^4 y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial da segunda componente de F em relação a x:
partialpartial x ( x^3 y ) = 3x^2 y

Passo 6

Comparando as duas derivadas obtidas:
9x^4 y^2 vs 3x^2 y
Vemos que 9x^4 y^2 neq 3x^2 y para valores gerais de x e y. Isso significa que as derivadas cruzadas não são iguais.

Resposta

Como as derivadas cruzadas não são iguais, o campo F não é conservativo.

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