Sejam
e
constantes reais,
e
campos escalares e
campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a seguinte relação do cálculo diferencial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma relação envolvendo o operador gradiente (
) aplicado a uma combinação linear de dois campos escalares (
e
) com constantes reais (
e
). Basicamente, queremos mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a propriedade de linearidade do operador gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador gradiente. O gradiente de um campo escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e tem magnitude igual à taxa de variação máxima. Em termos de derivadas parciais, se
, então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador gradiente à combinação linear
. Ou seja, queremos calcular
. Pela definição do gradiente:
Passo 4
Vamos agora distribuir as derivadas parciais usando a propriedade distributiva da derivada em relação à soma. Lembrando que
e
são constantes reais, as derivadas ficam assim:
Passo 5
Agora, podemos reescrever o gradiente de
usando as expressões obtidas acima:
Passo 6
Observe que podemos fatorar
e
em cada componente:
Passo 7
Reconhecendo as expressões entre parênteses como os gradientes de
e
, respectivamente, temos:
Resposta
Portanto, demostramos que
.