Sejam alpha e beta constantes reais, u e v campos escalares e F e G campos vetoriais diferenciais. Usando regras de derivação, deduza a seguinte relação do cálculo diferencial: nabla(alpha u+beta v)=alpha nabla u+beta nabla v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma relação envolvendo o operador gradiente ( nabla) aplicado a uma combinação linear de dois campos escalares ( u e v) com constantes reais ( alpha e beta). Basicamente, queremos mostrar que nabla(alpha u + beta v) = alpha nabla u + beta nabla v. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a propriedade de linearidade do operador gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador gradiente. O gradiente de um campo escalar u, denotado por nabla u, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de u e tem magnitude igual à taxa de variação máxima. Em termos de derivadas parciais, se u = u(x, y, z), então:
nabla u = ( partial upartial x, partial upartial y, partial upartial z )

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador gradiente à combinação linear alpha u + beta v. Ou seja, queremos calcular nabla(alpha u + beta v). Pela definição do gradiente:
nabla(alpha u + beta v) = ( partial (alpha u + beta v)partial x, partial (alpha u + beta v)partial y, partial (alpha u + beta v)partial z )

Passo 4

Vamos agora distribuir as derivadas parciais usando a propriedade distributiva da derivada em relação à soma. Lembrando que alpha e beta são constantes reais, as derivadas ficam assim:
partial (alpha u + beta v)partial x = alpha partial upartial x + beta partial vpartial x
partial (alpha u + beta v)partial y = alpha partial upartial y + beta partial vpartial y
partial (alpha u + beta v)partial z = alpha partial upartial z + beta partial vpartial z

Passo 5

Agora, podemos reescrever o gradiente de alpha u + beta v usando as expressões obtidas acima:
nabla(alpha u + beta v) = ( alpha partial upartial x + beta partial vpartial x, alpha partial upartial y + beta partial vpartial y, alpha partial upartial z + beta partial vpartial z )

Passo 6

Observe que podemos fatorar alpha e beta em cada componente:
nabla(alpha u + beta v) = alpha ( partial upartial x, partial upartial y, partial upartial z ) + beta ( partial vpartial x, partial vpartial y, partial vpartial z )

Passo 7

Reconhecendo as expressões entre parênteses como os gradientes de u e v, respectivamente, temos:
nabla(alpha u + beta v) = alpha nabla u + beta nabla v

Resposta

Portanto, demostramos que nabla(alpha u + beta v) = alpha nabla u + beta nabla v.

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