Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equaçāo diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^raiz5 x+C2 e^raiz2 x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
e diz que a solução geral é
y(x) = C1e^raiz5,x + C2e^raiz2,x
O conteúdo aqui é resolver uma equação linear homogênea de ordem 2 usando a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
que é
r^2 + alpha,r + beta = 0

Passo 3

Pela forma da solução geral, os dois expoentes são raízes da equação característica, ou seja,
r1 = raiz5, r2 = raiz2

Passo 4

Pelos teoremas de Viète, para a equação
r^2 + alpha,r + beta = 0
temos
r1 + r2 = -alpha e r1,r2 = beta
Substituindo r1=raiz5 e r2=raiz2, vem
alpha = -l(raiz5+raiz2r), beta = raiz5,raiz2 = raiz10

Resposta

(alpha,beta) = l(-(raiz5+raiz2),,raiz10r)

Exercícios relacionados