(valor: 1,5 ) Considere f(x, y)= x^3-y^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0). Calcule partial fpartial x(1,0)+partial fpartial x(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3-y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede a soma partial fpartial x(1,0)+partial fpartial x(0,0). Vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada parcial em (1,0) e a definição de derivada parcial por limite no ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a derivada parcial em x vem da regra do quociente. Se
u(x,y)=x^3-y^3, v(x,y)=x^2+y^2,
então
partial fpartial x(x,y) =ux,v - u,vxv^2 =3x^2,(x^2+y^2)-(x^3-y^3),2x(x^2+y^2)^2
Avaliando em (1,0) obtemos
partial fpartial x(1,0) =3cdot1^2,(1+0)-l(1^3-0r),2cdot1(1+0)^2 =3-21=1

Passo 3

No ponto (0,0) a derivada parcial em x é definida por
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como para hneq0 vale
f(h,0)=h^3-0h^2+0=h,
temos
partial fpartial x(0,0) =limhto0h-0h=1

Passo 4

Somando os dois resultados:
partial fpartial x(1,0)+partial fpartial x(0,0)=1+1=2

Resposta

2

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