Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Se [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], \operatorname{determine}[v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\}.
Sabe-se que
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}
e pede-se [v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.
O conteúdo é mudança de base: converter coordenadas de \beta para as bases \alpha (padrão) e \gamma.
Passo 2
Usamos a definição de coordenadas em \beta: se [v]_{\beta} = \bigl(c_1,c_2\bigr)^T e \beta=\{b_1,b_2\}, então