Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Se [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], \operatorname{determine}[v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\}.
Sabe-se que
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}
e pede-se [v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.
O conteúdo é mudança de base: converter coordenadas de \beta para as bases \alpha (padrão) e \gamma.

Passo 2

Usamos a definição de coordenadas em \beta: se [v]_{\beta} = \bigl(c_1,c_2\bigr)^T e \beta=\{b_1,b_2\}, então
v = c_1\,b_1 + c_2\,b_2.
Aqui c_1=-1, c_2=3, b_1=(-1,1), b_2=(1,1). Logo
v = (-1)\cdot(-1,1) \;+\; 3\cdot(1,1) = (1,-1) + (3,3) = (4,2).

Passo 3

Como \alpha é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as coordenadas de v são justamente suas componentes. Assim
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \gamma=\{(2,0),(0,2)\}, queremos (a,b) tais que
a\,(2,0)+b\,(0,2) = (4,2).
Isso dá o sistema 2a=4, 2b=2, cujas soluções são a=2, b=1. Então
[v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix} [v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}

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