Encontre os autoralores e os autoretores do operador t: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} T(x, y, z)=(2 x-y-z,-x+2 y-z,-x-y+2 z)
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores do operador linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z) = (2x - y - z,\,-x + 2y - z,\,-x - y + 2z).
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: escrever T como matriz na base canônica, achar \lambda tais que \det(A-\lambda I)=0 e depois resolver (A-\lambda I)v=0.
Passo 2
Observe que, se v=(1,1,1), então
T(1,1,1) = (2-1-1,\,-1+2-1,\,-1-1+2) = (0,0,0).
Logo T(v)=0\cdot v, ou seja, \lambda=0 é autovalor e (1,1,1) é um autovetor associado.
Passo 3
Agora considere qualquer vetor v=(x,y,z) que satisfaça x+y+z=0. Então
2x - y - z = 2x - (y+z) = 2x -(-x) = 3x,
e de modo análogo
-\,x + 2y - z = 3y, \quad -\,x - y + 2z = 3z.
Isto é, T(x,y,z) = (3x,3y,3z) = 3\,(x,y,z). Logo qualquer vetor com x+y+z=0 é autovetor de autovalor \lambda=3.
O espaço próprio de \lambda=0 é \mathrm{span}\{(1,1,1)\}.
O espaço próprio de \lambda=3 é dado por \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}, de dimensão 2; por exemplo, podemos escolher como base
v_1 = (1,-1,0), \quad v_2 = (1,1,-2),
pois 1+(-1)+0=0 e 1+1+(-2)=0.
Resposta
Os autovalores e autovetores de T são: \lambda=0 com autovetor (1,1,1). \lambda=3 com espaço próprio \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}, por exemplo gerado por (1,-1,0) e (1,1,-2).