\operatorname{Seja} A:\{(1,1,1),(1,-2,1),(1,0,-1)\}, Conjunto D \in vetores D \in \mathbb{R}^{3}
a) Mostre que A é base ortogonah de \mathbb{R}^{3}
b) Encontre [\vec{\nabla}]_{A} as coordenadas do r \in tor \vec{r}=(1,1,-1) na base A.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,1,1),\quad v_2 = (1,-2,1),\quad v_3 = (1,0,-1),
e pede (a) mostrar que A=\{v_1,v_2,v_3\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 e (b) encontrar as coordenadas de \vec r=(1,1,-1) nessa base. Vamos usar produto interno para testar ortogonalidade e depois a fórmula de projeção para obter as coordenadas.

Passo 2

Calcular os produtos internos de pares distintos:
\langle v_1,v_2\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot(-2) + 1\cdot1 = 1 - 2 + 1 = 0,
\langle v_1,v_3\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 - 1 = 0,
\langle v_2,v_3\rangle = 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 - 1 = 0.
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são zero e cada v_i\neq 0, eles são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Três vetores não nulos e mutuamente ortogonais em \mathbb{R}^3 formam uma base ortogonal de \mathbb{R}^3. Logo, A é de fato uma base ortogonal.

Passo 4

Num sistema ortogonal, a coordenada c_i de \vec r ao longo de v_i é
c_i = \frac{\langle \vec r, v_i\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle}.
Calculamos cada uma:
\langle \vec r,v_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 1, \quad \langle v_1,v_1\rangle = 1^2+1^2+1^2 = 3,
\langle \vec r,v_2\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-1)\cdot1 = -2, \quad \langle v_2,v_2\rangle = 1^2+(-2)^2+1^2 = 6,
\langle \vec r,v_3\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = 2, \quad \langle v_3,v_3\rangle = 1^2+0^2+(-1)^2 = 2.
Portanto
c_1 = \frac{1}{3},\quad c_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},\quad c_3 = \frac{2}{2} = 1.

Resposta

As coordenadas de \vec r na base ortogonal A são
[\vec r]_{A} = \Bigl(\tfrac{1}{3},\, -\tfrac{1}{3},\,1\Bigr).

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