Sejam \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\} e \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base \alpha_{2} para a base \alpha_{1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • São fornecidas três bases do espaço \mathbb{R}^2:
    • \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}.
    • \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\}.
    • \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}.
  • O enunciado pede explicitamente: exibir a matriz de mudança de base da base \alpha_{2} para a base \alpha_{1}.

Passo 2

O que significa "matriz de mudança de base da base \alpha_{2} para a base \alpha_{1}"?
  • Procuramos a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2, [v]_{\alpha_{1}} = P\,[v]_{\alpha_{2}}.Aqui [v]_{\alpha_{1}} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha_{1} e [v]_{\alpha_{2}} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha_{2}.
  • Regra prática útil (muito usada na prova): as colunas da matriz P são as coordenadas, na base \alpha_{1}, dos vetores que formam a base \alpha_{2}. Em símbolos:
    • Se \alpha_{2}=\{w_{1},w_{2}\} e escrevemos w_{j} em coordenadas de \alpha_{1}, então P = \begin{pmatrix} [w_{1}]_{\alpha_{1}} & [w_{2}]_{\alpha_{1}} \end{pmatrix},onde cada [w_{j}]_{\alpha_{1}} é uma coluna.

Passo 3

Aplicando a regra prática ao caso concreto.
  • Os vetores de \alpha_{2} são w_{1}=(1,1) e w_{2}=(2,3).
  • A base \alpha_{1} é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Logo as coordenadas de w_{1} e w_{2} em \alpha_{1} são exatamente as próprias componentes: [w_{1}]_{\alpha_{1}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad [w_{2}]_{\alpha_{1}} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montagem final da matriz P.
  • Colocando as colunas em ordem (primeira coluna para w_{1}, segunda para w_{2}): P \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (bom para a prova — mostra que entendeu a definição).
  • Se um vetor tem coordenadas [v]_{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\end{pmatrix}, então P\begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\end{pmatrix} = c_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1}+2c_{2} \\[4pt] c_{1}+3c_{2} \end{pmatrix},que são exatamente as coordenadas de v na base \alpha_{1} (ou seja, as componentes no sistema canônico).
  • Observação útil: o determinante de P é \det(P) = 1\cdot 3 - 2\cdot 1 = 1,portanto P é invertível — isso garante que \alpha_{2} realmente é uma base (vetores independentes) e que a mudança de base é bem definida.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \end{pmatrix}]

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