Sejam
e
. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base
para a base
.
da base
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- São fornecidas três bases do espaço
: -
. -
. -
.
-
- O enunciado pede explicitamente: exibir a matriz de mudança de base da base
para a base .
Passo 2
O que significa "matriz de mudança de base da base
para a base
"?
- Procuramos a matriz
tal que, para qualquer vetor , Aqui é o vetor de coordenadas de na base e é o vetor de coordenadas de na base . - Regra prática útil (muito usada na prova): as colunas da matriz
são as coordenadas, na base , dos vetores que formam a base . Em símbolos: - Se
e escrevemos em coordenadas de , então onde cada é uma coluna.
- Se
Passo 3
Aplicando a regra prática ao caso concreto.
- Os vetores de
são e . - A base
é a base canônica . Logo as coordenadas de e em são exatamente as próprias componentes: ]
Passo 4
Montagem final da matriz
.
- Colocando as colunas em ordem (primeira coluna para
, segunda para ): ]
Passo 5
Verificação rápida (bom para a prova — mostra que entendeu a definição).
- Se um vetor tem coordenadas
, então que são exatamente as coordenadas de na base (ou seja, as componentes no sistema canônico). - Observação útil: o determinante de
é portanto é invertível — isso garante que realmente é uma base (vetores independentes) e que a mudança de base é bem definida.]