Sejam alpha=u1=(0,1,2), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1+u2-u3, v2=u1-u2-u3 e v3=u1-u2+u3.
(b) Encontre [v]beta, se v=(2,1,-3).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Você tem duas bases no espaço tridimensional, e . A base é definida em termos dos vetores da base . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base . Ou seja, queremos descobrir quais são os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base , resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as coordenadas de um vetor em uma nova base, precisamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores dessa base. No nosso caso, queremos achar escalares v = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 , e tais que:

Passo 3

Sabemos que os vetores da base v1 = u1 + u2 - u3 = (0,1,2) + (1,0,1) - (0,1,0) = (1,0,3) são dados em termos dos vetores da base v2 = u1 - u2 - u3 = (0,1,2) - (1,0,1) - (0,1,0) = (-1,0,1) . Vamos substituir esses valores:
v3 = u1 - u2 + u3 = (0,1,2) - (1,0,1) + (0,1,0) = (-1,2,1)

Passo 4

Agora, montamos o sistema de equações para encontrar 1c1 -1c2 -1c3 = 2 0c1 +0c2 +2c3 = 1 3c1 +1c2 +1c3 = -3 , e :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
2c3 = 1 implies c3 = 12
Substituindo c1 - c2 - 12 = 2 implies c1 - c2 = 52 na primeira equação:
3c1 + c2 + 12 = -3 implies 3c1 + c2 = -72
E na terceira equação:
c1 - c2 = 52 3c1 + c2 = -72
Agora, temos:
4c1 = -1 implies c1 = -14
Somando as duas equações:
-14 - c2 = 52 implies -c2 = 52 + 14 = 114 implies c2 = -114
Substituindo na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor [v]beta = ( -14, -114, 12 ) na base são:

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