• (Retendo 4 casas decimais, se necessário): Seja a matriz
A=[lll 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 ],
Decompor A em LU.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição LU! A gente tem uma matriz e queremos encontrar duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior , de forma que . Para isso, precisamos entender um pouco sobre matrizes triangulares e como elas se relacionam na decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 :
LU = A
Queremos encontrar e tal que:
Onde é uma matriz triangular inferior (com 1’s na diagonal principal) e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar preenchendo a matriz L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 com 1’s na diagonal principal e zeros acima dela:
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
E a matriz com zeros abaixo da diagonal principal:

Passo 4

Multiplicando LU = 1 cdot u11 & 1 cdot u12 & 1 cdot u13 l21 cdot u11 & l21 cdot u12 + 1 cdot u22 & l21 cdot u13 + 1 cdot u23 l31 cdot u11 & l31 cdot u12 + l32 cdot u22 & l31 cdot u13 + l32 cdot u23 + 1 cdot u33 e u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 = 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 , temos:
Igualando com :
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar os elementos de e .

Passo 5

Vamos resolver as equações uma a uma:
  1. Primeira linha:
    u11 = 5
    u12 = 2
    u13 = 3
  2. Segunda linha:
    l21 cdot 5 = 3 Rightarrow l21 = 35 = 0,6
    0,6 cdot 2 + u22 = 1 Rightarrow u22 = 1 - 1,2 = -0,2
    0,6 cdot 3 + u23 = 4 Rightarrow u23 = 4 - 1,8 = 2,2
  3. Terceira linha:
    l31 cdot 5 = 1 Rightarrow l31 = 15 = 0,2
    0,2 cdot 2 + l32 cdot (-0,2) = 1 Rightarrow 0,4 - 0,2 l32 = 1 Rightarrow -0,2 l32 = 0,6 Rightarrow l32 = 0,6-0,2 = -3
    0,2 cdot 3 + (-3) cdot 2,2 + u33 = 2 Rightarrow 0,6 - 6,6 + u33 = 2 Rightarrow u33 = 8

Passo 6

Agora que encontramos todos os elementos, vamos montar as matrizes L = 1 & 0 & 0 0,6 & 1 & 0 0,2 & -3 & 1 e U = 5 & 2 & 3 0 & -0,2 & 2,2 0 & 0 & 8 :

Resposta

A decomposição LU da matriz L = 1 & 0 & 0 0,6 & 1 & 0 0,2 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 3 0 & -0,2 & 2,2 0 & 0 & 8 é:

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