- (Retendo 4 casas decimais, se necessário): Seja a matriz
Decompor A em LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição LU! A gente tem uma matriz
e queremos encontrar duas matrizes: uma matriz triangular inferior
e uma matriz triangular superior
, de forma que
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre matrizes triangulares e como elas se relacionam na decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
A = 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 :
Queremos encontrar
e
tal que:
Onde
é uma matriz triangular inferior (com 1’s na diagonal principal) e
é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Vamos começar preenchendo a matriz
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 com 1’s na diagonal principal e zeros acima dela:
E a matriz
com zeros abaixo da diagonal principal:
Passo 4
Multiplicando
LU = 1 cdot u11 & 1 cdot u12 & 1 cdot u13 l21 cdot u11 & l21 cdot u12 + 1 cdot u22 & l21 cdot u13 + 1 cdot u23 l31 cdot u11 & l31 cdot u12 + l32 cdot u22 & l31 cdot u13 + l32 cdot u23 + 1 cdot u33 e
u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 = 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 , temos:
Igualando com
:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar os elementos de
e
.
Passo 5
Vamos resolver as equações uma a uma:
-
Primeira linha:
u11 = 5 u12 = 2 u13 = 3 -
Segunda linha:
l21 cdot 5 = 3 Rightarrow l21 = 35 = 0,6 0,6 cdot 2 + u22 = 1 Rightarrow u22 = 1 - 1,2 = -0,2 0,6 cdot 3 + u23 = 4 Rightarrow u23 = 4 - 1,8 = 2,2 -
Terceira linha:
l31 cdot 5 = 1 Rightarrow l31 = 15 = 0,2 0,2 cdot 2 + l32 cdot (-0,2) = 1 Rightarrow 0,4 - 0,2 l32 = 1 Rightarrow -0,2 l32 = 0,6 Rightarrow l32 = 0,6-0,2 = -3 0,2 cdot 3 + (-3) cdot 2,2 + u33 = 2 Rightarrow 0,6 - 6,6 + u33 = 2 Rightarrow u33 = 8
Passo 6
Agora que encontramos todos os elementos, vamos montar as matrizes
L = 1 & 0 & 0 0,6 & 1 & 0 0,2 & -3 & 1 e
U = 5 & 2 & 3 0 & -0,2 & 2,2 0 & 0 & 8 :
Resposta
A decomposição LU da matriz
L = 1 & 0 & 0 0,6 & 1 & 0 0,2 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 3 0 & -0,2 & 2,2 0 & 0 & 8 é: