Sejam (An) e (Bn) sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
lim sup (An cup Bn)=(lim sup An) cup(lim sup Bn).

Passo 1

Então, a questão é a seguinte: temos duas sequências de eventos limsupntoinfty (Ancup Bn) ;=; l(limsupntoinfty Anr);cup;l(limsupntoinfty Bnr) e num mesmo espaço de probabilidade, e queremos provar que
O conteúdo aqui é teoria de probabilidade—mais precisamente de operações com conjuntos e definição de “lim sup” de uma sequência de eventos. Para resolver, vamos precisar da definição de de eventos e de algumas propriedades simples de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, a definição de lim sup para uma sequência de eventos limsupntoinfty An ;=; capk=1^infty;cupn>= k An é
Isto significa: “os pontos que pertencem a para infinitos ”. Vamos usar isso tanto para , para como para .

Passo 3

Mostrando omegain Ancup Bn .
Seja um ponto em . Pela definição, para todo existe tal que
Isso quer dizer que, em cada “cauda” da sequência, cai pelo menos uma vez em ou em . Se só aparecesse finitely em e finitely em , então a partir de um certo para frente não aparecería nem em nem em , o que contradiz o fato de que aparecia em todo “bloco” a partir de cada . Logo, deve aparecer infinitas vezes em ou infinitas vezes em .
  • Se aparecer infinitas vezes em , isto diz .
  • Se for em , então .
Em qualquer dos casos . Isso prova a inclusão desejada.

Passo 4

Agora mostro a inclusão .
Seja . Então, por definição, para todo existe com . Mas aí , então em cada “cauda” ainda existe um com . Isso já mostra . O mesmo raciocínio vale se .
Logo, qualquer ponto de ou de também fica em .

Resposta

Juntando as duas inclusões, concluímos que
boxedlimsupntoinfty (Ancup Bn) ;=; l(limsupntoinfty Anr);cup;l(limsupntoinfty Bnr)

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