Sejam
e
sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
.
Passo 1
Então, a questão é a seguinte: temos duas sequências de eventos
e
num mesmo espaço de probabilidade, e queremos provar que
O conteúdo aqui é teoria de probabilidade—mais precisamente de operações com conjuntos e definição de “lim sup” de uma sequência de eventos. Para resolver, vamos precisar da definição de
de eventos e de algumas propriedades simples de união e interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, a definição de lim sup para uma sequência de eventos
é
Isto significa: “os pontos que pertencem a
para infinitos
”. Vamos usar isso tanto para
, para
como para
.
Passo 3
Mostrando
.
Seja
um ponto em
. Pela definição, para todo
existe
tal que
Isso quer dizer que, em cada “cauda” da sequência,
cai pelo menos uma vez em
ou em
. Se
só aparecesse finitely em
e finitely em
, então a partir de um certo
para frente não aparecería nem em
nem em
, o que contradiz o fato de que aparecia em todo “bloco” a partir de cada
. Logo,
deve aparecer infinitas vezes em
ou infinitas vezes em
.
- Se aparecer infinitas vezes em
, isto diz . - Se for em
, então .
Em qualquer dos casos
. Isso prova a inclusão desejada.
Passo 4
Agora mostro a inclusão
.
Seja
. Então, por definição, para todo
existe
com
. Mas aí
, então em cada “cauda” ainda existe um
com
. Isso já mostra
. O mesmo raciocínio vale se
.
Logo, qualquer ponto de ou de
também fica em
.
Logo, qualquer ponto de
Resposta
Juntando as duas inclusões, concluímos que