Sejam
e
sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem duas sequências de eventos
e
num mesmo espaço de probabilidade, e quer mostrar que
Isso é parte de teoria de probabilidade (ou teoria da medida), envolvendo operações em conjuntos e o conceito de
de eventos. Para resolver vamos precisar da definição de
em termos de união e interseção, e de uma argumentação “por elemento” (pegando um
qualquer).
Passo 2
Lembra da definição de
de uma sequência de eventos? A gente tem
Isso significa:
está em
se e só se existe um índice
tal que, para todo
,
. Em palavras informais: “a partir de algum momento
,
pertence a todos os
daí em diante”.
Passo 3
Vamos pegar um ponto genérico
Isso quer dizer que ou
ou
(ou nos dois).
Passo 4
– Se
, então existe
tal que, para todo
,
. Mas aí, para esses mesmos
, certamente
.
– Se , um raciocínio análogo mostra que, a partir de algum
,
para todo
.
– Se
Em qualquer um dos casos, a gente descobriu um
onde, para todo
,
. Isso significa exatamente que
Resposta
Portanto, mostramos que
ou seja,
Fim!