Sejam (An) e (Bn) sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
liminf (An cup Bn) supset(liminf An) cup(liminf Bn).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem duas sequências de eventos liminfntoinfty(Ancup Bn);supset;l(liminfntoinftyAnr);cup;l(liminfntoinftyBnr) e num mesmo espaço de probabilidade, e quer mostrar que
Isso é parte de teoria de probabilidade (ou teoria da medida), envolvendo operações em conjuntos e o conceito de de eventos. Para resolver vamos precisar da definição de em termos de união e interseção, e de uma argumentação “por elemento” (pegando um qualquer).

Passo 2

Lembra da definição de liminfntoinftyAn ;=;cupk=1^infty;capn=k^inftyAn de uma sequência de eventos? A gente tem
Isso significa: está em se e só se existe um índice tal que, para todo , . Em palavras informais: “a partir de algum momento , pertence a todos os daí em diante”.

Passo 3

Vamos pegar um ponto genérico
omega;in;l(liminf Anr);cup;l(liminf Bnr)
Isso quer dizer que ou ou (ou nos dois).

Passo 4

– Se omega;in;liminfntoinfty(Ancup Bn) , então existe tal que, para todo , . Mas aí, para esses mesmos , certamente .
– Se , um raciocínio análogo mostra que, a partir de algum , para todo .
Em qualquer um dos casos, a gente descobriu um onde, para todo , . Isso significa exatamente que

Resposta

Portanto, mostramos que
l(liminfntoinftyAnr);cup;l(liminfntoinftyBnr) ;subset; liminfntoinfty(Ancup Bn),
ou seja,
liminf (Ancup Bn);supset;l(liminf Anr);cup;l(liminf Bnr)
Fim!

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