Sejam
e
sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade tais que
Prove que
. (Dica: Use o teorema do sandwiche).
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas sequências de eventos
e
num mesmo espaço de probabilidade. O enunciado diz que
O que precisamos provar é que
Conteúdo: probabilidade básica (eventos, complemento, interseção) e o Teorema do Sanduíche (também chamado de Teorema do Aperto). Vamos usar propriedades simples de probabilidade e “espremer”
entre duas coisas que convergem para
.
Passo 2
Primeiro, repara que
Aqui usei que o complemento
satisfaz
. Então a probabilidade de não ocorrer
vai a zero.
Passo 3
Agora observa a identidade básica
Isso vem da decomposição de
em duas partes disjuntas: uma onde
ocorre e outra onde
não ocorre.
Passo 4
Desse modo podemos isolar
:
E, como
, a monotonicidade dá
Logo
Passo 5
Aí é só aplicar o Teorema do Sanduíche:
- De um lado
. - Do outro,
.
Comofica “espremido” entre duas quantidades que tendem a , concluímos