Sejam (An) e (Bn) sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade tais que
lim n infty P(An)=1, lim n infty P(Bn)=p
Prove que lim n infty P(An cap Bn)=p. (Dica: Use o teorema do sandwiche).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas sequências de eventos limntoinftyP(An)=1 e limntoinftyP(Bn)=p e limntoinftyP(Ancap Bn)=p num mesmo espaço de probabilidade. O enunciado diz que
O que precisamos provar é que
Conteúdo: probabilidade básica (eventos, complemento, interseção) e o Teorema do Sanduíche (também chamado de Teorema do Aperto). Vamos usar propriedades simples de probabilidade e “espremer” entre duas coisas que convergem para .

Passo 2

Primeiro, repara que
P(An)to1 Longrightarrow P(An^c)=1-P(An)to0
Aqui usei que o complemento satisfaz . Então a probabilidade de não ocorrer vai a zero.

Passo 3

Agora observa a identidade básica
P(Bn)=Pl(Bncap Anr)+Pl(Bncap An^cr)
Isso vem da decomposição de em duas partes disjuntas: uma onde ocorre e outra onde não ocorre.

Passo 4

Desse modo podemos isolar P(Ancap Bn) = P(Bn)-P(Bncap An^c) :
P(Bncap An^c)<= P(An^c)
E, como P(Bn)-P(An^c) ;<=; P(Ancap Bn) ;<=; P(Bn) , a monotonicidade dá
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Passo 5

Aí é só aplicar o Teorema do Sanduíche:
  • De um lado limntoinftyP(Ancap Bn)=p .
  • Do outro, .
    Como fica “espremido” entre duas quantidades que tendem a , concluímos

Resposta

.

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