Sejam
e
sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que
Estamos no contexto de probabilidade (eventos num espaço amostral) e vamos usar as definições de
– limsup de uma sequência de eventos:
– limsup de uma sequência de eventos:
– liminf de uma sequência de eventos:
Só com isso a ideia seria “pegar um ponto em
e tentar mostrar que ele fica em
” etc.
Passo 2
Mas, antes de perder tempo numa prova que não anda, vale checar se a afirmação é mesmo verdadeira. Uma boa tática é tentar um contraexemplo bem simples. Vamos definir, no mesmo espaço amostral
:
– Para ímpar:
– Para
– Para
par:
Passo 3
Agora avaliaremos cada lado da suposta inclusão:
-
Lado esquerdo,
:
– Seé ímpar, .
– Logo, para qualquerexiste sempre algum ímpar com .
– Portanto. -
Lado direito,
:
–, pois para todo .
–exige “a partir de algum , todos os são ”: mas como para todo existe sempre um índice par em que , a interseção é vazia.
– Logo.
– Assim o lado direito é.
Resposta
A gente achou
Portanto
ou seja, a inclusão pedida não vale em geral.