Sejam (An) e (Bn) sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
limsup (An cap Bn) subset(liminf An) cap(limsup Bn).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que
limsupntoinfty(Ancap Bn);subset;l(liminfntoinftyAnr);cap;l(limsupntoinftyBnr)
Estamos no contexto de probabilidade (eventos num espaço amostral) e vamos usar as definições de
– limsup de uma sequência de eventos:
limsupnEn =capm=1^infty;cupn>= mEn ;;(acontece infinitas vezes),
– liminf de uma sequência de eventos:
liminfnEn =cupm=1^infty;capn>= mEn ;;(acontece a partir de um pulo em diante)
Só com isso a ideia seria “pegar um ponto em e tentar mostrar que ele fica em ” etc.

Passo 2

Mas, antes de perder tempo numa prova que não anda, vale checar se a afirmação é mesmo verdadeira. Uma boa tática é tentar um contra­exemplo bem simples. Vamos definir, no mesmo espaço amostral An = Omega, Bn=Omega :
– Para An = varnothing, Bn=Omega ímpar:
– Para par:

Passo 3

Agora avaliaremos cada lado da suposta inclusão:
  1. Lado esquerdo, :
    – Se é ímpar, .
    – Logo, para qualquer existe sempre algum ímpar com .
    – Portanto .
  2. Lado direito, :
    , pois para todo .
    exige “a partir de algum , todos os são ”: mas como para todo existe sempre um índice par em que , a interseção é vazia.
    – Logo .
    – Assim o lado direito é .

Resposta

A gente achou
limsup(Ancap Bn)=Omega enquanto l(liminf Anr)capl(limsup Bnr)=varnothing
Portanto
limsup(Ancap Bn)notsubset (liminf An)cap(limsup Bn),
ou seja, a inclusão pedida não vale em geral.

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