Sejam (An) e (Bn) sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
liminf (An cap Bn)=(liminf An) cap(liminf Bn).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas sequências de eventos num mesmo espaço de probabilidade: (An) e (Bn). A parada é mostrar que
liminf (Ancap Bn);=;l(liminf Anr);cap;l(liminf Bnr)
O conteúdo aqui é de teoria de probabilidade/conjuntos, mais precisamente operações com união, interseção e a definição de liminf de uma sequência de conjuntos. Para resolver, a gente vai precisar lembrar a definição rigorosa de liminf e usar propriedades de união e interseção.

Passo 2

Primeiro, relembrar o que é liminf de uma sequência de conjuntos. Por definição:
liminf An ;=;cupn=1^infty;capk=n^inftyAk
Isso significa “os pontos que estão em quase todos os An a partir de algum índice”. De modo completamente análogo:
liminf Bn = cupn=1^infty;capk=n^inftyBk
e
liminf (Ancap Bn) = cupn=1^infty;capk=n^infty(Akcap Bk)
Agora que temos as definições, é só usar propriedades de união e interseção para comparar os dois lados.

Passo 3

Mostrando liminf(Ancap Bn)subseteq (liminf An)cap(liminf Bn).
  1. Pegue um ponto xin liminf(Ancap Bn).
  2. Então existe algum N tal que para todo k>= N, xin Akcap Bk.
  3. Isso implica, em particular, que para todo k>= N a) xin Ak e b) xin Bk.
  4. Logo xin capk=N^infty Ak, o que faz xin cupn=1^inftycapk=n^infty Ak = liminf An.
  5. Do mesmo jeitinho, xin liminf Bn.
  6. Portanto xin (liminf An)cap(liminf Bn).
    Fez sentido? A ideia foi “se x está em quase todos os Ancap Bn, então está em quase todos os An e em quase todos os Bn”.

Passo 4

Mostrando (liminf An)cap(liminf Bn)subseteq liminf(Ancap Bn).
  1. Pegue um ponto xin(liminf An)cap(liminf Bn).
  2. Aí existem índices N1 e N2 tais que para todo k>= N1, xin Ak, e para todo k>= N2, xin Bk.
  3. Tome N = maxN1,N2. A partir desse N, para todo k>= N temos simultaneamente xin Ak e xin Bk.
  4. Consequentemente, para todo k>= N, xin Akcap Bk.
  5. Então xin capk=N^infty(Akcap Bk), e daí xin cupn=1^inftycapk=n^infty(Akcap Bk) = liminf(Ancap Bn).

Resposta

Juntando as duas inclusões, a gente conclui que
liminf(Ancap Bn) ;=; (liminf An);cap;(liminf Bn)

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