Sejam
e
sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas sequências de eventos num mesmo espaço de probabilidade:
e
. A parada é mostrar que
O conteúdo aqui é de teoria de probabilidade/conjuntos, mais precisamente operações com união, interseção e a definição de
Passo 2
Primeiro, relembrar o que é
de uma sequência de conjuntos. Por definição:
Isso significa “os pontos que estão em quase todos os
e
Agora que temos as definições, é só usar propriedades de união e interseção para comparar os dois lados.
Passo 3
Mostrando
.
- Pegue um ponto
. - Então existe algum
tal que para todo , . - Isso implica, em particular, que para todo
a) e b) . - Logo
, o que faz . - Do mesmo jeitinho,
. - Portanto
.
Fez sentido? A ideia foi “seestá em quase todos os , então está em quase todos os e em quase todos os ”.
Passo 4
Mostrando
.
- Pegue um ponto
. - Aí existem índices
e tais que para todo , , e para todo , . - Tome
. A partir desse , para todo temos simultaneamente e . - Consequentemente, para todo
, . - Então
, e daí .
Resposta
Juntando as duas inclusões, a gente conclui que