Sejam (An) e (Bn) sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade, tais que lim n infty An=A e lim n infty Bn=B. Mostre que:
lim n infty(An cup Bn)=A cup B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas sequências de eventos limntoinftyAn = A e limntoinftyBn = B e limntoinfty(Ancup Bn)=Acup B, num mesmo espaço de probabilidade, e sabemos que
O que isso significa? Que tanto quanto .
O conteúdo aqui é convergência de eventos, que é definido via e . Para provar que
vamos usar:
  1. Definição de e de sequências de eventos.
  2. Propriedades de união e interseção para trocar ordem de e .

Passo 2

Relembrando as definições:
liminfntoinftyAn ;=;cupk=1^infty;capn>= kAn, limsupntoinftyAn ;=;capk=1^infty;cupn>= kAn
Intuitivamente,
é o evento “ocorre em todo a partir de algum índice”.
é o evento “ocorre em infinitos ”.
Quando , dizemos que a sequência converge e chamamos esse conjunto de .

Passo 3

Agora vamos achar liminf(Ancup Bn) =cupk=1^infty capn>= k(Ancup Bn) . Por definição,
capn>= k(Ancup Bn) =(capn>= kAn),cup,(capn>= kBn)
Mas a interseção de uniões se distribui assim:
liminf(Ancup Bn) =cupk=1^inftyl[(capn>= kAn)cup(capn>= kBn)r] =(cupk=1^inftycapn>= kAn),cup,(cupk=1^inftycapn>= kBn)
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liminf(Ancup Bn) =liminf An;cup;liminf Bn
que é

Passo 4

De modo análogo, para limsup(Ancup Bn) =capk=1^infty cupn>= k(Ancup Bn) ;=;capk=1^inftyl[(cupn>= kAn)cup(cupn>= kBn)r] ;=;limsup An;cup;limsup Bn , temos

Passo 5

Como assumimos liminf(Ancup Bn) =Acup B e limsup(Ancup Bn) =Acup B e , isto é,
e , então
Quando e de coincidem, a sequência converge justamente para esse conjunto comum.

Resposta

boxedlimntoinfty(Ancup Bn)=Acup B

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