Sejam
e
sequências de eventos no mesmo espaço de probabilidade, tais que
e
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas sequências de eventos
e
num mesmo espaço de probabilidade, e sabemos que
O que isso significa? Que tanto
quanto
.
O conteúdo aqui é convergência de eventos, que é definido via e
. Para provar que
O conteúdo aqui é convergência de eventos, que é definido via
vamos usar:
- Definição de
e de sequências de eventos. - Propriedades de união e interseção para trocar ordem de
e .
Passo 2
Relembrando as definições:
Intuitivamente,
– é o evento “ocorre em todo
a partir de algum índice”.
– é o evento “ocorre em infinitos
”.
Quando , dizemos que a sequência converge e chamamos esse conjunto de
.
–
–
Quando
Passo 3
Agora vamos achar
. Por definição,
Mas a interseção de uniões se distribui assim:
Logo
que é
Passo 4
De modo análogo, para
, temos
Passo 5
Como assumimos
e
, isto é,
e
, então
Quando
e
de
coincidem, a sequência converge justamente para esse conjunto comum.