Sejam (An) e (Bn) sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que:
[limsup An]^c=liminf An^c.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos duas sequências de eventos l[limsup Anr]^c ;=; liminf (An^c) e num mesmo espaço de probabilidade, e a gente quer provar que
Isso faz parte de Teoria de Probabilidades, mais especificamente de operações com conjuntos (união, interseção, complemento) e dos conceitos de e de eventos. Para resolver, vamos usar:
  • Definições de e .
  • As Leis de De Morgan (para troca de complemento com união/interseção).

Passo 2

Primeiro, lembra como definimos:
limsupntoinfty An ;=; capn=1^infty cupk=n^infty Ak,
que é o evento “ocorre A_k para infinitos valores de k”.
E
liminfntoinfty An ;=; cupn=1^infty capk=n^infty Ak,
ou seja, “a partir de algum ponto, A_k ocorre para todo k grande o bastante”.
Vamos usar essas definições e aplicar complemento em cada lado.

Passo 3

Pegamos o lado esquerdo e trocamos tudo por essas definições:
l[limsup Anr]^c = l[capn=1^inftycupk=n^inftyAkr]^c
Agora aplicamos a Lei de De Morgan: o complemento de uma interseção vira união dos complementos, e o complemento de uma união vira interseção dos complementos. Então
l[capn=1^inftyunderbracecupk=n^inftyAkevento Enr]^c =;cupn=1^inftyl[Enr]^c =;cupn=1^inftyl[cupk=n^inftyAkr]^c
De novo De Morgan, agora dentro de cada cupn=1^inftycapk=n^inftyAk^c : vira
liminfntoinfty An^c = cupn=1^inftycapk=n^inftyAk^c
E voilà! Isso é bem a definição de , porque

Resposta

boxedl[limsup Anr]^c ;=; liminfl(An^cr)

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