Sejam e sequências eventos no mesmo espaço de probabilidade. Mostre que: .
Passo 1
Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos duas sequências de eventos e num mesmo espaço de probabilidade, e a gente quer provar que
Isso faz parte de Teoria de Probabilidades, mais especificamente de operações com conjuntos (união, interseção, complemento) e dos conceitos de e de eventos. Para resolver, vamos usar:
Definições de e .
As Leis de De Morgan (para troca de complemento com união/interseção).
Passo 2
Primeiro, lembra como definimos:
que é o evento “ocorre A_k para infinitos valores de k”.
E
ou seja, “a partir de algum ponto, A_k ocorre para todo k grande o bastante”.
Vamos usar essas definições e aplicar complemento em cada lado.
Passo 3
Pegamos o lado esquerdo e trocamos tudo por essas definições:
Agora aplicamos a Lei de De Morgan: o complemento de uma interseção vira união dos complementos, e o complemento de uma união vira interseção dos complementos. Então
De novo De Morgan, agora dentro de cada cupn=1^inftycapk=n^inftyAk^c : vira