Sejam
e
pontos no plano.
a) Encontre a inclinação da reta que contém
e
.
b) Encontre uma equação da reta que passa por
e
. Quais são as intersecções com os eixos?
c) Encontre o ponto médio do segmento
.
d) Encontre o comprimento do segmento
.
e) Encontre uma equação para a mediatriz de
.
f) Encontre uma equação para o círculo para o qual
é um diâmetro.
a) Encontre a inclinação da reta que contém
b) Encontre uma equação da reta que passa por
c) Encontre o ponto médio do segmento
d) Encontre o comprimento do segmento
e) Encontre uma equação para a mediatriz de
f) Encontre uma equação para o círculo para o qual
Passo 1
Neste exercício de geometria analítica no plano cartesiano, temos os pontos A(–7,4) e B(5,–12). Vamos precisar das fórmulas de inclinação de reta, equação ponto-inclinação, interceptos, ponto médio, distância entre pontos, equação da mediatriz e equação de círculo dado o diâmetro.
Passo 2
Para encontrar a inclinação m da reta que passa por A e B, usamos a definição de inclinação: diferença de y sobre diferença de x. Assim,
Passo 3
Agora vamos achar a equação da reta. Usamos a forma ponto-inclinação com o ponto A e m = -\tfrac{4}{3}:
Transformando para a forma y = mx + b, obtemos
Passo 4
Os interceptos com os eixos são: para y=0,
logo intercepto x em (10,0); para x=0,
logo intercepto y em (0,,40/3).
Passo 5
O ponto médio M do segmento AB usa a média das coordenadas:
Passo 6
O comprimento do segmento AB é dado pela fórmula da distância:
Passo 7
Para a mediatriz de AB, precisamos da reta perpendicular que passa por M. A inclinação da reta AB é -\tfrac{4}{3}, logo a perpendicular tem inclinação \tfrac{3}{4}. Usando ponto-inclinação em M:
Passo 8
Por fim, o círculo com AB como diâmetro tem centro em M e raio \tfrac{AB}{2} = 10. A equação é
Resposta
a) M = -4/3
b) y - 4 = -\tfrac{4}{3}(x + 7), ou y = -\tfrac{4}{3}x + \tfrac{40}{3}; interceptos: (10,0) e (0,40/3)
c) (-1,-4)
d) 20
e) y + 4 = \tfrac{3}{4}(x + 1)
f) (x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100
b) y - 4 = -\tfrac{4}{3}(x + 7), ou y = -\tfrac{4}{3}x + \tfrac{40}{3}; interceptos: (10,0) e (0,40/3)
c) (-1,-4)
d) 20
e) y + 4 = \tfrac{3}{4}(x + 1)
f) (x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100