Sejam A(-7,4) e B(5,-12) pontos no plano.
a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B.
b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as intersecções com os eixos?
c) Encontre o ponto médio do segmento A B.
d) Encontre o comprimento do segmento A B.
e) Encontre uma equação para a mediatriz de A B.
f) Encontre uma equação para o círculo para o qual A B é um diâmetro.

Passo 1

Neste exercício de geometria analítica no plano cartesiano, temos os pontos A(–7,4) e B(5,–12). Vamos precisar das fórmulas de inclinação de reta, equação ponto-inclinação, interceptos, ponto médio, distância entre pontos, equação da mediatriz e equação de círculo dado o diâmetro.

Passo 2

Para encontrar a inclinação m da reta que passa por A e B, usamos a definição de inclinação: diferença de y sobre diferença de x. Assim,
m = yB - yAxB - xA = -12 - 45 - (-7) = -1612 = -43

Passo 3

Agora vamos achar a equação da reta. Usamos a forma ponto-inclinação com o ponto A e m = -\tfrac{4}{3}:
y - 4 = -43(x + 7)
Transformando para a forma y = mx + b, obtemos
y = -43x + 403

Passo 4

Os interceptos com os eixos são: para y=0,
0 = -43x + 403 implies x = 10,
logo intercepto x em (10,0); para x=0,
y = 403,
logo intercepto y em (0,,40/3).

Passo 5

O ponto médio M do segmento AB usa a média das coordenadas:
Ml(-7 + 52,,4 + (-12)2r) = (-1,,-4)

Passo 6

O comprimento do segmento AB é dado pela fórmula da distância:
AB = raiz(5 - (-7))^2 + (-12 - 4)^2 = raiz12^2 + (-16)^2 = raiz400 = 20

Passo 7

Para a mediatriz de AB, precisamos da reta perpendicular que passa por M. A inclinação da reta AB é -\tfrac{4}{3}, logo a perpendicular tem inclinação \tfrac{3}{4}. Usando ponto-inclinação em M:
y + 4 = 34(x + 1)

Passo 8

Por fim, o círculo com AB como diâmetro tem centro em M e raio \tfrac{AB}{2} = 10. A equação é
(x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100

Resposta

a) M = -4/3
b) y - 4 = -\tfrac{4}{3}(x + 7), ou y = -\tfrac{4}{3}x + \tfrac{40}{3}; interceptos: (10,0) e (0,40/3)
c) (-1,-4)
d) 20
e) y + 4 = \tfrac{3}{4}(x + 1)
f) (x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100

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