Prove as seguintes afirmações:
a) Se x+theta=x para algum x in R, então theta=0.

Passo 1

O enunciado diz: prove que se, para algum xinR, vale x+theta = x, então theta=0. Isso envolve as propriedades do grupo aditivo (R,+): existência do neutro (0), do inverso e a lei do cancelamento.

Passo 2

Em R existe o elemento neutro aditivo 0 tal que para todo x vale x+0 = x. Assim, podemos reescrever a hipótese como:
x + theta = x + 0

Passo 3

Agora usamos a lei do cancelamento. Primeiro, somamos o inverso aditivo de x, isto é -x, em ambos os lados:
(x+theta) + (-x) = (x+0) + (-x)

Passo 4

Pela associatividade temos:
x + (theta + (-x)) = (x + (-x)) + 0

Passo 5

Como x + (-x) = 0, o lado direito fica 0 + 0 = 0. No lado esquerdo, reagrupando:
(x+theta) + (-x) = theta + (x+(-x)) = theta + 0 = theta

Passo 6

Logo obtemos theta = 0, como queríamos.
Esta conclusão usa diretamente a lei do cancelamento: de x+theta = x+0 segue-se theta = 0.

Resposta

theta = 0

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