Prove as seguintes afirmações:
a) Se
para algum
, então
.
a) Se
Passo 1
O enunciado diz: prove que se, para algum
, vale
, então
. Isso envolve as propriedades do grupo aditivo
: existência do neutro (0), do inverso e a lei do cancelamento.
Passo 2
Em
existe o elemento neutro aditivo
tal que para todo
vale
. Assim, podemos reescrever a hipótese como:
Passo 3
Agora usamos a lei do cancelamento. Primeiro, somamos o inverso aditivo de
, isto é
, em ambos os lados:
Passo 4
Pela associatividade temos:
Passo 5
Como
, o lado direito fica
. No lado esquerdo, reagrupando:
Passo 6
Logo obtemos
, como queríamos.
Esta conclusão usa diretamente a lei do cancelamento: de segue-se
.
Esta conclusão usa diretamente a lei do cancelamento: de