Sejam A=(-7,4) e B=(5,-12) pontos de um plano:
(a) encontre a inclinação da reta que contém a A e B.
(b) encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são os pontos em que a reta cruza com os eixos x e y.
(c) encontre o ponto médio do segmento AB .
(d) encontre o comprimento do segmento AB .
(e) encontre a equação da reta perpendicular ao segmento A B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-7,4) e B=(5,-12) num plano cartesiano e pede:
(a) inclinação da reta AB;
(b) equação dessa reta e seus interceptos com os eixos x e y;
(c) ponto médio de AB;
(d) comprimento de AB;
(e) equação da reta perpendicular ao segmento AB (isto é, a mediatriz de AB).

Passo 2

Para (a), usamos a fórmula da inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos:
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.
Substituindo A=(-7,4) e B=(5,-12):
m = \frac{-12 - 4}{5 - (-7)} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}.

Passo 3

Para (b), escrevemos a forma ponto–inclinação com ponto A e m=-\tfrac{4}{3}:
y - 4 = -\frac{4}{3}\,(x + 7).
Colocando em forma y = mx + b:
y = -\frac{4}{3}x - \frac{28}{3} + 4 = -\frac{4}{3}x - \frac{28 - 12}{3} = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3}.
Para o intercepto com o eixo x imponha y=0:
0 = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} \implies -4x - 16 = 0 \implies x = -4,
logo o ponto é (-4,0).
Para o intercepto com o eixo y imponha x=0:
y = -\frac{16}{3},
logo o ponto é \bigl(0,-\tfrac{16}{3}\bigr).

Passo 4

Para (c), o ponto médio M de AB é
M = \Bigl(\frac{x_A + x_B}{2},\,\frac{y_A + y_B}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{-7 + 5}{2},\,\frac{4 + (-12)}{2}\Bigr) = (-1,-4).

Passo 5

Para (d), o comprimento \lvert AB\rvert usa a fórmula da distância entre dois pontos:
\lvert AB\rvert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-7))^2 + (-12 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = 20.

Passo 6

Para (e), a reta perpendicular a AB tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco de -\tfrac{4}{3}, ou seja m' = \tfrac{3}{4}, e passa pelo ponto médio M=(-1,-4). A forma ponto–inclinação fica:
y + 4 = \tfrac{3}{4}\,(x + 1).

Resposta

(a) -\tfrac{4}{3}.
(b) Equação:
y - 4 = -\tfrac{4}{3}(x + 7) \quad\text{ou}\quad y = -\tfrac{4}{3}x - \tfrac{16}{3};
interceptos em (-4,0) e \bigl(0,-\tfrac{16}{3}\bigr).
(c) M = (-1,-4).
(d) \lvert AB\rvert = 20.
(e) Reta perpendicular (mediatriz):
y + 4 = \tfrac{3}{4}(x + 1).

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