Sejam
e
bases do
.
a) Escreva as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
.
b) Obtenha as matrizes de mudança de base
e
.
c) As coordenadas de um vetor
em relação à base
são dadas por
. Obtenha as coordenadas de
em relação às bases
e
.
a) Escreva as coordenadas do vetor
b) Obtenha as matrizes de mudança de base
c) As coordenadas de um vetor
Passo 1
O enunciado nos dá três bases de
,
e pede:
– (a) as coordenadas de em cada base;
– (b) as matrizes de mudança de base ;
– (c) dadas as coordenadas , encontrar
e
.
Para isso vamos usar que, se é a matriz cujas colunas são os vetores da base
, então as coordenadas de um vetor
são
e a mudança de base de
para
é
.
– (a) as coordenadas de
– (b) as matrizes de mudança de base
– (c) dadas as coordenadas
Para isso vamos usar que, se
Passo 2
Coordenadas de
na base
. Como
é a base canônica, basta ler as componentes de
:
Passo 3
Coordenadas de
isto é
Somando vem e
. Logo
Passo 4
Coordenadas de
na base
. Escreva
isto é
logo
,
. Assim
Passo 5
Matrizes de mudança de base. Defina
Então
Como
,
Portanto
Passo 6
Coordenadas de
. Dado
, primeiro obtenha
na base canônica:
Em
as coordenadas são as componentes canônicas:
Em
resolva
isto é
,
, então
Resposta
a)
b)
b)
c)