Sejam A=(1,0),(0,1), B=(-1,1),(1,1) e C=(2,0),(0,2) bases do R^2.
a) Escreva as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases A, B e C.
b) Obtenha as matrizes de mudança de base MA^B, MB^A e MC^A.
c) As coordenadas de um vetor u em relação à base B são dadas por uB=(4,0). Obtenha as coordenadas de u em relação às bases A e C.

Passo 1

O enunciado nos dá três bases de R^2,
A=(1,0),(0,1), B=(-1,1),(1,1), C=(2,0),(0,2),
e pede:
– (a) as coordenadas de v=(3,-2) em cada base;
– (b) as matrizes de mudança de base MA^B,MB^A,MC^A;
– (c) dadas as coordenadas uB=(4,0), encontrar uA e uC.
Para isso vamos usar que, se PX é a matriz cujas colunas são os vetores da base X, então as coordenadas de um vetor w são [w]X = PX^-1w e a mudança de base de X para Y é MX^Y = PY^-1PX.

Passo 2

Coordenadas de v na base A. Como A é a base canônica, basta ler as componentes de v:
vA = (3,-2)

Passo 3

Coordenadas de
isto é
Somando vem e . Logo

Passo 4

Coordenadas de v na base C. Escreva
(3,-2)=x,(2,0)+y,(0,2),
isto é
2x=3, 2y=-2,
logo x=tfrac32, y=-1. Assim
vC = l(tfrac32,-1r)

Passo 5

Matrizes de mudança de base. Defina
PA=1&00&1, PB=-1&11&1, PC=2&00&2
Então
MA^B = PB^-1PA = PB^-1, MB^A = PA^-1PB = PB, MC^A = PA^-1PC = PC
Como det PB=-2,
PB^-1 = -tfrac121&-1-1&-1 = -tfrac12&tfrac12tfrac12&tfrac12
Portanto
MA^B=-tfrac12&tfrac12tfrac12&tfrac12, MB^A=-1&11&1, MC^A=2&00&2

Passo 6

Coordenadas de u. Dado uB=(4,0), primeiro obtenha u na base canônica:
u = PB,uB = -1&11&1 40 = -44
Em A as coordenadas são as componentes canônicas:
uA = (-4,4)
Em C resolva
(-4,4)=x,(2,0)+y,(0,2),
isto é 2x=-4, 2y=4, então
uC = (-2,2)

Resposta

a) vA=(3,-2),;vB=l(-tfrac52,tfrac12r),;vC=l(tfrac32,-1r)
b)
MA^B=-tfrac12&tfrac12tfrac12&tfrac12, MB^A=-1&11&1, MC^A=2&00&2
c) uA=(-4,4),;uC=(-2,2)

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