Sejam
vetores não-nulos do espaço vetorial E. Prove que vé múltiplo de u se, e somente se, u é múltiplo de
. Que se pode dizer caso não suponhamos u e
ambos diferentes de zero?
1.10. Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
1.10. Sejam
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, em um espaço vetorial qualquer
, mostrar que, para vetores não-nulos
, vale
Depois, questiona o que muda se um deles for zero. Em seguida (Ex. 1.10), no caso específico de
, com
é preciso provar que “um deles é múltiplo do outro” se, e somente se,
Para resolver isso vamos usar as propriedades de multiplicação por escalar em espaços vetoriais e, no caso de
, comparar coordenadas.
Passo 2
Suponha
e
. Se
é múltiplo de
, existe
tal que
Como
, podemos inverter o escalar e escrever
ou seja,
é múltiplo de
. O mesmo argumento vale trocando os papéis, então concluímos
desde que os dois vetores sejam não-nulos.
Passo 3
Se relaxarmos a hipótese de
e
não-nulos, há três casos possíveis:
- Se
e , então ambos são múltiplos um do outro (basta usar o escalar zero). - Se
e , então é múltiplo de (pois ), mas não é múltiplo de (não há que faça se ). - Analogamente, se
e , apenas é múltiplo de .
Logo, sem a suposição de não-nulidade simultânea, a equivalência deixa de valer quando um é zero e o outro não.
Passo 4
Agora para
. Primeiro, suponha que um vetor seja múltiplo do outro, digamos
Então, coordenada a coordenada,
e
. Dali
portanto
para todo par
.
Passo 5
Para a recíproca, assuma
Se
ou
, já vimos que um deles será múltiplo do outro. Se ambos são não-nulos, existe algum índice
com
. Defina
Para qualquer
, use a hipótese com
:
Logo
, isto é,
é múltiplo de
. Assim mostramos a equivalência desejada.
Resposta
Para vetores
em qualquer espaço vetorial,
Se um deles for zero e o outro não, só há múltiplo num sentido (o zero é múltiplo de qualquer vetor, mas um vetor não-nulo não é múltiplo do zero).
No caso de
, definindo
temos