Sejam u, v vetores não-nulos do espaço vetorial E. Prove que vé múltiplo de u se, e somente se, u é múltiplo de v. Que se pode dizer caso não suponhamos u e v ambos diferentes de zero?
1.10. Sejam u=(x1, ldots, xn) e v=(y1, ldots, yn) vetores em R^n. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se, xi yj=xj yi para quaisquer i, j=1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, em um espaço vetorial qualquer E, mostrar que, para vetores não-nulos u,v, vale
v é mú<iplo de uiff u é mú<iplo de v éúéú
Depois, questiona o que muda se um deles for zero. Em seguida (Ex. 1.10), no caso específico de E= R^n, com
u=(x1,dots,xn), v=(y1,dots,yn),
é preciso provar que “um deles é múltiplo do outro” se, e somente se,
xi,yj = xj,yi para todos i,j=1,dots,n
Para resolver isso vamos usar as propriedades de multiplicação por escalar em espaços vetoriais e, no caso de R^n, comparar coordenadas.

Passo 2

Suponha uneq0 e vneq0. Se v é múltiplo de u, existe alphaneq0 tal que
v = alpha,u
Como alphaneq0, podemos inverter o escalar e escrever
u = alpha^-1v,
ou seja, u é múltiplo de v. O mesmo argumento vale trocando os papéis, então concluímos
v é mú<iplo de u iff u é mú<iplo de v, éúéú
desde que os dois vetores sejam não-nulos.

Passo 3

Se relaxarmos a hipótese de u e v não-nulos, há três casos possíveis:
  1. Se u=0 e v=0, então ambos são múltiplos um do outro (basta usar o escalar zero).
  2. Se u=0 e vneq0, então u é múltiplo de v (pois 0=0cdot v), mas v não é múltiplo de u (não há alpha que faça v=alphacdot0 se vneq0).
  3. Analogamente, se v=0 e uneq0, apenas v é múltiplo de u.
    Logo, sem a suposição de não-nulidade simultânea, a equivalência deixa de valer quando um é zero e o outro não.

Passo 4

Agora para R^n. Primeiro, suponha que um vetor seja múltiplo do outro, digamos
u = alpha,v
Então, coordenada a coordenada, xi = alpha,yi e xj = alpha,yj. Dali
xi,yj = (alpha,yi),yj = alpha,(yi,yj) e xj,yi = (alpha,yj),yi = alpha,(yj,yi),
portanto xi,yj = xj,yi para todo par i,j.

Passo 5

Para a recíproca, assuma
xi,yj = xj,yi forall,i,j
Se v=0 ou u=0, já vimos que um deles será múltiplo do outro. Se ambos são não-nulos, existe algum índice k com ykneq0. Defina
alpha = xkyk
Para qualquer i, use a hipótese com (i,k):
xi,yk = xk,yi ;;implies;; xi = xkyk,yi = alpha,yi
Logo u=(x1,dots,xn)=alpha,(y1,dots,yn)=alpha,v, isto é, u é múltiplo de v. Assim mostramos a equivalência desejada.

Resposta

Para vetores u,vneq0 em qualquer espaço vetorial,
v é mú<iplo de uiff u é mú<iplo de v éúéú
Se um deles for zero e o outro não, só há múltiplo num sentido (o zero é múltiplo de qualquer vetor, mas um vetor não-nulo não é múltiplo do zero).
No caso de R^n, definindo
u=(x1,dots,xn), v=(y1,dots,yn),
temos
l(u e v colinearesr) iff xi,yj = xj,yi para todos i,j

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