Calcule os determinantes das matrizes abaixo, usando a definição:
M=[rrrr1 & 0 & -1 & 3 2 & 3 & 4 & 2 0 & 2 & 5 & 1 4 & 1 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz M de ordem 4 usando a definição de determinante (expansão de Laplace e cofatores). O conteúdo aplicado aqui é a expansão pela primeira linha, que aproveita o zero para simplificar os cálculos.

Passo 2

Para uma matriz 4×4 qualquer, o determinante pela primeira linha é dado por
det M ;=;sumj=1^4 a1j,C1j,
onde
C1j=(-1)^1+jdet M1j
e M1j é a matriz obtida de M eliminando a primeira linha e a coluna j.
No nosso caso temos a11=1, a12=0, a13=-1, a14=3, logo
det M =1cdot C11 +0cdot C12 +(-1)cdot C13 +3cdot C14 =det A11 -det A13 -3,det A14,
onde A1j=M1j.

Passo 3

O menor é a matriz 3×3 que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 1 de :
Usando a regra de Sarrus ou a fórmula
temos

Passo 4

O menor A13 vem de eliminar linha 1 e coluna 3:
A13= 2 & 3 & 2 0 & 2 & 1 4 & 1 & 0
Aplicando a mesma fórmula,
det A13 =2,(2cdot0 - 1cdot1) -3,(0cdot0 - 1cdot4) +2,(0cdot1 - 2cdot4) =2(-1) -3(-4) +2(-8) =-2 +12 -16 =-6

Passo 5

O menor A14 é obtido eliminando linha 1 e coluna 4:
A14= 2 & 3 & 4 0 & 2 & 5 4 & 1 & 0
Calculemos
det A14 =2,(2cdot0 - 5cdot1) -3,(0cdot0 - 5cdot4) +4,(0cdot1 - 2cdot4) =2(-5) -3(-20) +4(-8) =-10 +60 -32 =18

Passo 6

Substituindo os menores no desenvolvimento de Laplace, temos
det M =det A11 -det A13 -3,det A14 =(-6) -(-6) -3cdot18 =-6 +6 -54 =-54

Resposta

-54

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