Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Mostre que:
A approx B Rightarrow B approx A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação de equipotência (ou bijeção entre conjuntos) é simétrica: se A ≈ B então B ≈ A. Vamos usar conceitos de bijeção e inversa de função.

Passo 2

Suponha A ≈ B. Por definição existe uma bijeção f: A to B. Lembrando que bijeção é uma função que é simultaneamente injetora (valores distintos em A dão imagens distintas em B) e sobrejetora (toda imagem em B é atingida por algum elemento de A).

Passo 3

Pelo teorema de inversão de bijeções, como f é bijetora, existe uma função inversa f^-1: B to A tal que para todo a in A e b in B vale
f^-1(f(a)) = a e f(f^-1(b)) = b

Passo 4

Agora mostramos que f^-1 é bijeção. Injetividade: se f^-1(b1)=f^-1(b2), aplicando f em ambos os lados, temos b1 = f(f^-1(b1)) = f(f^-1(b2)) = b2. Sobrejetividade: dado um a in A, tome b = f(a) in B; então f^-1(b) = f^-1(f(a)) = a, ou seja, todo a tem um b que o mapeia.

Passo 5

Como exibimos uma bijeção f^-1: B to A, concluímos que B ≈ A, ou seja, a equipotência é simétrica.

Resposta

B ≈ A

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