Sejam
conjuntos não vazios. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação de equipotência (ou bijeção entre conjuntos) é simétrica: se A ≈ B então B ≈ A. Vamos usar conceitos de bijeção e inversa de função.
Passo 2
Suponha A ≈ B. Por definição existe uma bijeção
. Lembrando que bijeção é uma função que é simultaneamente injetora (valores distintos em A dão imagens distintas em B) e sobrejetora (toda imagem em B é atingida por algum elemento de A).
Passo 3
Pelo teorema de inversão de bijeções, como
é bijetora, existe uma função inversa
tal que para todo
e
vale
Passo 4
Agora mostramos que
é bijeção. Injetividade: se
, aplicando
em ambos os lados, temos
. Sobrejetividade: dado um
, tome
; então
, ou seja, todo
tem um
que o mapeia.
Passo 5
Como exibimos uma bijeção
, concluímos que B ≈ A, ou seja, a equipotência é simétrica.
Resposta
B ≈ A