Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê um contra-exemplo:
( ) Se
, então
e
são paralelos.
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre o produto vetorial de dois vetores,
e
. A pergunta é: se
é igual a
, isso significa que
e
são paralelos? Vamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Uma propriedade importante desse produto é que ele não é comutativo, ou seja, mudar a ordem dos vetores muda o sinal do resultado:
Passo 3
Agora, se a afirmação diz que
, vamos substituir uma expressão na outra usando a propriedade que acabamos de ver:
Para que essa igualdade seja verdadeira, o único jeito é se:
Ou seja, o produto vetorial é o vetor nulo.
Passo 4
Quando o produto vetorial de dois vetores é zero, isso quer dizer que os vetores são paralelos ou pelo menos um deles é o vetor nulo (ou seja, tem magnitude zero).
Passo 5
Assumindo que os vetores não são nulos (o que geralmente é o caso em exercícios), concluímos que se
, então
e
devem ser paralelos.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
e
são paralelos.