Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê um contra-exemplo:
( ) Se a times b=b times a, então a e b são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre o produto vetorial de dois vetores, a e b. A pergunta é: se a times b é igual a b times a, isso significa que a e b são paralelos? Vamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Uma propriedade importante desse produto é que ele não é comutativo, ou seja, mudar a ordem dos vetores muda o sinal do resultado:
a times b = - (b times a)

Passo 3

Agora, se a afirmação diz que a times b = b times a, vamos substituir uma expressão na outra usando a propriedade que acabamos de ver:
a times b = - (a times b)
Para que essa igualdade seja verdadeira, o único jeito é se:
a times b = 0
Ou seja, o produto vetorial é o vetor nulo.

Passo 4

Quando o produto vetorial de dois vetores é zero, isso quer dizer que os vetores são paralelos ou pelo menos um deles é o vetor nulo (ou seja, tem magnitude zero).

Passo 5

Assumindo que os vetores não são nulos (o que geralmente é o caso em exercícios), concluímos que se a times b = b times a, então a e b devem ser paralelos.

Resposta

Verdadeiro. Se a times b = b times a, então a e b são paralelos.

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