Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê um contra-exemplo:
( ) Se a+b+c=0, então a times b=b times c=c times a.

Passo 1

Beleza, então temos a afirmação: Se a + b + c = 0, então a times b = b times c = c times a. Vamos descobrir se isso é verdade ou falso. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e o produto vetorial (cruzamento de vetores) na matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = |u| |v| sin(theta) , n
onde theta é o ângulo entre u e v, e n é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por u e v.

Passo 3

Agora, considerando que a + b + c = 0, podemos rearranjar para qualquer uma das componentes. Por exemplo:
c = -(a + b)
Isso significa que c é o vetor que “Fecha” o triângulo formado por a e b.

Passo 4

Vamos calcular os produtos vetoriais usando essa relação:
  1. a times b já está definido.
  2. Para b times c, substituímos c:
b times c = b times (-a - b) = -b times a - b times b
Sabemos que qualquer vetor cruzado consigo mesmo é zero, então b times b = 0. Além disso, b times a = -a times b. Portanto:
b times c = -(-a times b) = a times b
  1. Agora, para c times a:
c times a = (-a - b) times a = -a times a - b times a
Novamente, a times a = 0, e b times a = -a times b, então:
c times a = -(-a times b) = a times b

Passo 5

Assim, vimos que:
a times b = b times c = c times a
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro. Se a + b + c = 0, então a times b = b times c = c times a.

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