Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê um contra-exemplo:
( ) Se
, então
.
( ) Se
Passo 1
Beleza, então temos a afirmação: Se
, então
. Vamos descobrir se isso é verdade ou falso. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e o produto vetorial (cruzamento de vetores) na matéria de Álgebra Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
onde
é o ângulo entre
e
, e
é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por
e
.
Passo 3
Agora, considerando que
, podemos rearranjar para qualquer uma das componentes. Por exemplo:
Isso significa que
é o vetor que “Fecha” o triângulo formado por
e
.
Passo 4
Vamos calcular os produtos vetoriais usando essa relação:
-
já está definido. - Para
, substituímos :
Sabemos que qualquer vetor cruzado consigo mesmo é zero, então
. Além disso,
. Portanto:
- Agora, para
:
Novamente,
, e
, então:
Passo 5
Assim, vimos que:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
.