4 Sejam A=(2,-1,5), B=(1,3,2), C=(6,-1,2) e D=(4,-9,8).
(a) Os pontos A, B, C e D são coplanares?
(b) o quadrilátero square A B C D é um paralelogramo ?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço
A=(2,-1,5), B=(1,3,2), C=(6,-1,2) e D=(4,-9,8),
e pede:
(a) verificar se A,B,C,D são coplanares;
(b) verificar se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
Para (a) usaremos o produto misto de vetores, que se for zero indica coplanaridade.
Para (b) comparamos os vetores dos lados opostos: num paralelogramo eles são iguais e paralelos.

Passo 2

Vamos calcular os vetores a partir de A:
AB=B-A=(1-2,;3-(-1),;2-5)=(-1,4,-3),
AC=C-A=(6-2,;-1-(-1),;2-5)=(4,0,-3),
AD=D-A=(4-2,;-9-(-1),;8-5)=(2,-8,3)

Passo 3

Calculamos o produto misto ABcdot(ACtimesAD). Primeiro o produto vetorial:
ACtimesAD = i&j&k 4&0&-3 2&-8&3 =(-24,,-18,,-32)
Em seguida o escalar:
ABcdot(ACtimesAD) =(-1)cdot(-24)+4cdot(-18)+(-3)cdot(-32) =24-72+96=48neq0
Como o produto misto é diferente de zero, os quatro pontos NÃO são coplanares.

Passo 4

Para checar se ABCD é paralelogramo, comparamos lados opostos:
AB=(-1,4,-3), CD=D-C=(4-6,,-9-(-1),;8-2)=(-2,-8,6),
BC=C-B=(6-1,;-1-3,;2-2)=(5,-4,0), DA=A-D=(2-4,;-1-(-9),;5-8)=(-2,8,-3)
Verificamos se AB é paralelo a CD e se BC é paralelo a DA.
Comparando razões de componentes de AB e CD não obtemos escalar constante único, e o mesmo vale para BC e DA.
Logo, os lados opostos não são paralelos nem iguais, então ABCD NÃO é um paralelogramo.

Resposta

(a) Não são coplanares.
(b) Não é paralelogramo.

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