Sendo
e
duas matrizes
invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
, ambas invertíveis, e pede para analisar a matriz
O conteúdo de teoria que vamos usar é que o produto de matrizes invertíveis é invertível e que a inversa de um produto é o produto das inversas em ordem reversa.
Passo 2
Como
é invertível, já temos garantido que
existe. E como
também é invertível, concluímos que
é o produto de duas matrizes invertíveis. Pela propriedade geral, esse produto também é invertível.
Passo 3
Para achar a inversa de
, aplicamos a regra
com
e
. Assim,
Resposta
A matriz
é necessariamente invertível, e sua inversa é