Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
A B^-1

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem n, ambas invertíveis, e pede para analisar a matriz
AB^-1,
O conteúdo de teoria que vamos usar é que o produto de matrizes invertíveis é invertível e que a inversa de um produto é o produto das inversas em ordem reversa.

Passo 2

Como B é invertível, já temos garantido que B^-1 existe. E como A também é invertível, concluímos que
AB^-1
é o produto de duas matrizes invertíveis. Pela propriedade geral, esse produto também é invertível.

Passo 3

Para achar a inversa de AB^-1, aplicamos a regra ,(XY)^-1=Y^-1X^-1 com X=A e Y=B^-1. Assim,
(AB^-1)^-1 = l(B^-1r)^-1;A^-1 = B,A^-1

Resposta

A matriz AB^-1 é necessariamente invertível, e sua inversa é
(AB^-1)^-1 = B,A^-1,

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