Sejam A=(4,1,-3) ; B=(1,2,2) ; C=(1,2,-2), D=(2,1,2) e E=(2,-2,-1) vectores de V_{3}. Determinar todos os pares de vectores ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em \mathbb{R}^3: \vec A=(4,1,-3), \vec B=(1,2,2), \vec C=(1,2,-2), \vec D=(2,1,2) e \vec E=(2,-2,-1).
O conteúdo aqui é produto escalar e ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Vamos calcular todos os produtos escalares e anotar onde obtivermos zero.

Passo 2

Calcular \vec A\cdot\vec B, \vec A\cdot\vec C, \vec A\cdot\vec D e \vec A\cdot\vec E:
\vec A\cdot\vec B = 4\cdot1 + 1\cdot2 + (-3)\cdot2 = 4 + 2 - 6 = 0,
\vec A\cdot\vec C = 4\cdot1 + 1\cdot2 + (-3)\cdot(-2) = 4 + 2 + 6 = 12 \neq 0,
\vec A\cdot\vec D = 4\cdot2 + 1\cdot1 + (-3)\cdot2 = 8 + 1 - 6 = 3 \neq 0,
\vec A\cdot\vec E = 4\cdot2 + 1\cdot(-2) + (-3)\cdot(-1) = 8 - 2 + 3 = 9 \neq 0.
Aqui só \vec A e \vec B são ortogonais.

Passo 3

Calcular \vec B\cdot\vec C, \vec B\cdot\vec D e \vec B\cdot\vec E:
\vec B\cdot\vec C = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot(-2) = 1 + 4 - 4 = 1 \neq 0,
\vec B\cdot\vec D = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 2\cdot2 = 2 + 2 + 4 = 8 \neq 0,
\vec B\cdot\vec E = 1\cdot2 + 2\cdot(-2) + 2\cdot(-1) = 2 - 4 - 2 = -4 \neq 0.
Logo, \vec B não é ortogonal a \vec C, \vec D nem \vec E.

Passo 4

Calcular \vec C\cdot\vec D e \vec C\cdot\vec E:
\vec C\cdot\vec D = 1\cdot2 + 2\cdot1 + (-2)\cdot2 = 2 + 2 - 4 = 0,
\vec C\cdot\vec E = 1\cdot2 + 2\cdot(-2) + (-2)\cdot(-1) = 2 - 4 + 2 = 0.
Portanto, \vec C é ortogonal a \vec D e a \vec E.

Passo 5

Calcular \vec D\cdot\vec E:
\vec D\cdot\vec E = 2\cdot2 + 1\cdot(-2) + 2\cdot(-1) = 4 - 2 - 2 = 0.
Isto mostra que \vec D e \vec E também são ortogonais.

Resposta

Os pares de vetores ortogonais são: (\vec A,\vec B), (\vec C,\vec D), (\vec C,\vec E) e (\vec D,\vec E).

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