Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) de R^n :
lang<=u, vrang<==prodi=1^n ui vi=u1 v1 u2 v2 cdots un vn

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para a “forma”
lang<=u,vrang<==prodi=1^nui,vi,
quais dos quatro axiomas de produto interno (simetria, linearidade em um argumento e positividade definida) são satisfeitos.

Passo 2

Verificamos a simetria, isto é, se
lang<=u,vrang<==lang<=v,urang<=
Como em R a multiplicação é comutativa,
prodi=1^n ui vi = prodi=1^n vi ui.
Logo, a simetria vale.

Passo 3

Testamos a aditividade no primeiro argumento:
lang<= u+w,,vrang<= stackrel?= lang<= u,vrang<= + lang<= w,vrang<=
O membro esquerdo é
prodi=1^n(ui+wi),vi,
enquanto o direito é
prodi=1^n ui vi + prodi=1^n wi vi.
Essas expressões não coincidem em geral, então a aditividade falha.

Passo 4

Testamos a homogeneidade no primeiro argumento:
lang<= alpha,u,,vrang<= = prodi=1^n(alpha,ui),vi =alpha^nprodi=1^n ui vi =alpha^nlang<=u,vrang<=
Para ser produto interno precisaríamos alphalang<=u,vrang<=, mas aparece alpha^n. Portanto, a homogeneidade escalar falha (salvo no caso trivial n=1).

Passo 5

Verificamos positividade definida:
lang<=u,urang<= =prodi=1^n ui^2>=0
sempre, mas esse produto só é zero se algum ui=0. Ou seja, há vetores não-nulos com lang<=u,urang<==0. Portanto não há positividade definida (só semidefinitude).

Resposta

A única propriedade de produto interno estritamente satisfeita é a simetria. A aditividade, a homogeneidade e a positividade definida falham.

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