Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores
e
de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para a “forma”
quais dos quatro axiomas de produto interno (simetria, linearidade em um argumento e positividade definida) são satisfeitos.
Passo 2
Verificamos a simetria, isto é, se
Como em
a multiplicação é comutativa,
.
Logo, a simetria vale.
Logo, a simetria vale.
Passo 3
Testamos a aditividade no primeiro argumento:
O membro esquerdo é
,
enquanto o direito é
.
Essas expressões não coincidem em geral, então a aditividade falha.
enquanto o direito é
Essas expressões não coincidem em geral, então a aditividade falha.
Passo 4
Testamos a homogeneidade no primeiro argumento:
Para ser produto interno precisaríamos
, mas aparece
. Portanto, a homogeneidade escalar falha (salvo no caso trivial
).
Passo 5
Verificamos positividade definida:
sempre, mas esse produto só é zero se algum
. Ou seja, há vetores não-nulos com
. Portanto não há positividade definida (só semidefinitude).
Resposta
A única propriedade de produto interno estritamente satisfeita é a simetria. A aditividade, a homogeneidade e a positividade definida falham.