Sejam A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3) vértices de um tetraedro. Calcule: o volume deste tetraedro; a altura do tetraedro relativa ao vértice D.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço, A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), e pede o volume do tetraedro ABCD e a altura relativa ao vértice D. Para isso vamos usar:
  1. O volume de um tetraedro é um sexto do valor absoluto do produto misto dos vetores que saem de um mesmo vértice.
  2. A altura relativa a D satisfaz
V = 13,Área(ABC)timesa<uraD Á

Passo 2

Escolhemos A como vértice de referência e calculamos os vetores
AB = B - A = (4,,-2,,2), AC = C - A = (1,,-3,,2), AD = D - A = (5,,-1,,-2)

Passo 3

O produto misto l[AB,AC,ADr] é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
det 4 & 1 & 5 -2 & -3 & -1 2 & 2 & -2 =4cdot8 ;-;1cdot6;+;5cdot2 =36

Passo 4

Logo, o volume do tetraedro é
V = 16l|det[AB,AC,AD]r| = 16times36 = 6

Passo 5

Para achar a área da face ABC, usamos
ABtimesAC = (2,,-6,,-10),
cujo módulo é |ABtimesAC| = raiz2^2+(-6)^2+(-10)^2 = 2raiz35
A área do triângulo ABC é
Área(ABC)=12,|ABtimesAC| =raiz35 Á

Passo 6

Como
V = 13,Área(ABC)timesa<uraD, Á
temos
a<uraD = 3VÁrea(ABC) = 3cdot6raiz35 = 18raiz35 = 18raiz3535 Á

Resposta

O volume do tetraedro é 6 e a altura relativa ao vértice D é 18raiz35 (ou, racionalizado, 18raiz3535).

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