Sejam
e
vértices de um tetraedro. Calcule: o volume deste tetraedro; a altura do tetraedro relativa ao vértice D.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no espaço,
,
,
e
, e pede o volume do tetraedro
e a altura relativa ao vértice
. Para isso vamos usar:
- O volume de um tetraedro é um sexto do valor absoluto do produto misto dos vetores que saem de um mesmo vértice.
- A altura relativa a
satisfaz
Passo 2
Escolhemos
como vértice de referência e calculamos os vetores
Passo 3
O produto misto
é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Passo 4
Logo, o volume do tetraedro é
Passo 5
Para achar a área da face
ABC , usamos
cujo módulo é
|ABtimesAC| = raiz2^2+(-6)^2+(-10)^2 = 2raiz35
A área do triânguloABC é
A área do triângulo
Passo 6
Como
temos
Resposta
O volume do tetraedro é
6 e a altura relativa ao vértice
D é
18raiz35 (ou, racionalizado,
18raiz3535 ).