Sejam A(-1,5,-2), B(1,-2,3) e C(-1,6,2). Determinar a área do triângulo formado por B A e B C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1,5,-2), B(1,-2,3) e C(-1,6,2) e pede a área do triângulo formado pelos vetores BA e BC. Vamos usar a propriedade de que a área de um triângulo determinado por vetores u e v é
Área = 12,l|utimesvr| Á

Passo 2

Calculamos os vetores BA e BC por subtração de coordenadas:
BA = A - B = (-1-1,;5-(-2),;-2-3) = (-2,;7,;-5),
BC = C - B = (-1-1,;6-(-2),;2-3) = (-2,;8,;-1)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial BAtimesBC. Seja
BA = (u1,u2,u3), BC = (v1,v2,v3)
Então
BAtimesBC = i&j&k u1&u2&u3 v1&v2&v3
= l(u2v3 - u3v2,; -(u1v3 - u3v1),; u1v2 - u2v1r)
Substituindo u=(-2,7,-5) e v=(-2,8,-1):
BAtimesBC =(7cdot(-1)-(-5)cdot8,; -((-2)cdot(-1)-(-5)cdot(-2)),; (-2)cdot8-7cdot(-2)) =(33,;8,;-2)

Passo 4

O módulo desse vetor é
l|,BAtimesBCr| =raiz33^2 + 8^2 + (-2)^2 =raiz1089 + 64 + 4 =raiz1157

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial:
Área = 12,raiz1157 Á

Resposta

raiz11572

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