Sejam
elementos de um grupo (
) com elemento neutro
. Determine as soluções
das seguintes equações:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá que
são elementos de um grupo
com elemento neutro
. A equação a resolver é
Pergunta: encontrar todos os
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
e têm inversos e (propriedade de grupo). - A operação
é associativa (podemos remover parênteses quando quisermos). - O elemento neutro
satisfaz para todo . - A incógnita é
; não aparece na equação e, portanto, é irrelevante aqui.
Passo 2
Estratégia: isolar
usando inversos e associatividade. Uma maneira direta é eliminar o fator
que aparece à esquerda do
multiplicando ambos os lados à esquerda por o inverso de
. Vou usar a propriedade geral: o inverso de um produto é o produto dos inversos na ordem reversa. Ou seja,
Explico essa propriedade rapidamente: se
e
, então
, então
é o inverso de
; aqui
e
.
Passo 3
Multiplico a equação original à esquerda por
. Usando associatividade, obtemos:
Agora simplifico o lado esquerdo passo a passo, agrupando convenientemente e usando
e
:
No lado direito simplifico
:
Portanto a equação ficou
Passo 4
Agora quero eliminar o fator à direita de
, que é
. Posso multiplicar à direita por o inverso de
. Pelo mesmo raciocínio de inverso de produto:
Multiplico ambos os lados da igualdade por
à direita:
Passo 5
Simplifico o lado esquerdo usando
e a associatividade:
No lado direito uso apenas associatividade para escrever sem parênteses desnecessários:
Portanto, após multiplicar pela inversa, obtemos
Passo 6
Interpretação final e forma alternativa: a solução encontrada pode ser escrita de formas equivalentes usando associatividade. Por exemplo,
ou, se preferir notação compacta,
(onde
significa
). Essa é a única solução, pois em grupo todas as operações usadas (multiplicar por inversos) são válidas e reversíveis, logo o processo não introduziu ou perdeu soluções.