Sejam a, b, c elementos de um grupo ( G, * ) com elemento neutro e. Determine as soluções x \in G das seguintes equações:
(d) a * b^{-1} * x * b * a^{-1}=a * b

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são elementos de um grupo (G,*) com elemento neutro e. A equação a resolver é
a * b^{-1} * x * b * a^{-1} = a * b.
Pergunta: encontrar todos os x\in G que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a e b têm inversos a^{-1} e b^{-1} (propriedade de grupo).
  • A operação * é associativa (podemos remover parênteses quando quisermos).
  • O elemento neutro e satisfaz e * g = g * e = g para todo g\in G.
  • A incógnita é x; c não aparece na equação e, portanto, é irrelevante aqui.

Passo 2

Estratégia: isolar x usando inversos e associatividade. Uma maneira direta é eliminar o fator a*b^{-1} que aparece à esquerda do x multiplicando ambos os lados à esquerda por o inverso de a*b^{-1}. Vou usar a propriedade geral: o inverso de um produto é o produto dos inversos na ordem reversa. Ou seja,
\big(a*b^{-1}\big)^{-1} = b * a^{-1}.
Explico essa propriedade rapidamente: se u=a e v=b^{-1}, então (u*v)*(v^{-1}*u^{-1}) = u*(v*v^{-1})*u^{-1} = u*e*u^{-1}=u*u^{-1}=e, então v^{-1}*u^{-1} é o inverso de u*v; aqui v^{-1}=(b^{-1})^{-1}=b e u^{-1}=a^{-1}.

Passo 3

Multiplico a equação original à esquerda por b * a^{-1} = \big(a*b^{-1}\big)^{-1}. Usando associatividade, obtemos:
b * a^{-1} * \big(a * b^{-1} * x * b * a^{-1}\big) = b * a^{-1} * (a * b).
Agora simplifico o lado esquerdo passo a passo, agrupando convenientemente e usando a^{-1} * a = e e b * b^{-1} = e:
\begin{aligned} b * a^{-1} * a * b^{-1} * x * b * a^{-1} &= b * (a^{-1} * a) * b^{-1} * x * b * a^{-1} \\\ &= b * e * b^{-1} * x * b * a^{-1} \\\ &= b * b^{-1} * x * b * a^{-1} \\\ &= e * x * b * a^{-1} \\\ &= x * b * a^{-1}. \end{aligned}
No lado direito simplifico a^{-1} * a = e:
b * a^{-1} * (a * b) = b * (a^{-1} * a) * b = b * e * b = b * b.
Portanto a equação ficou
x * b * a^{-1} = b * b.

Passo 4

Agora quero eliminar o fator à direita de x, que é b * a^{-1}. Posso multiplicar à direita por o inverso de b * a^{-1}. Pelo mesmo raciocínio de inverso de produto:
(b * a^{-1})^{-1} = a * b^{-1}.
Multiplico ambos os lados da igualdade por a * b^{-1} à direita:
\big(x * b * a^{-1}\big) * (a * b^{-1}) = (b * b) * (a * b^{-1}).

Passo 5

Simplifico o lado esquerdo usando a^{-1} * a = e e a associatividade:
x * b * (a^{-1} * a) * b^{-1} = x * b * e * b^{-1} = x * b * b^{-1} = x * e = x.
No lado direito uso apenas associatividade para escrever sem parênteses desnecessários:
(b * b) * (a * b^{-1}) = b * b * a * b^{-1}.
Portanto, após multiplicar pela inversa, obtemos
x = b * b * a * b^{-1}.

Passo 6

Interpretação final e forma alternativa: a solução encontrada pode ser escrita de formas equivalentes usando associatividade. Por exemplo,
x = b * b * a * b^{-1} = b * \big(b * a * b^{-1}\big),
ou, se preferir notação compacta, x = b^{2} * a * b^{-1} (onde b^{2} significa b*b). Essa é a única solução, pois em grupo todas as operações usadas (multiplicar por inversos) são válidas e reversíveis, logo o processo não introduziu ou perdeu soluções.

Resposta

x = b * b * a * b^{-1}

Exercícios relacionados