Seja (G, *) um grupo para o qual (x * y)^{2}=x^{2} * y^{2}, \forall x, y \in G. Mostre que G é abeliano. Observação: Se a \in G, então a^{2} é o mesmo que a * a.

Passo 1

O enunciado dá um grupo (G, *) e a condição
(x*y)^{2}=x^{2}*y^{2},\quad \forall x,y\in G,
sendo lembrado que a^{2} significa a*a.
O que pedir: mostrar que G é abeliano, isto é, provar que
x*y = y*x,\quad \forall x,y\in G.
Informações relevantes: em um grupo temos elemento neutro e, inversos x^{-1} para todo x, associatividade da operação e a propriedade de cancelamento (podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento ou seu inverso).

Passo 2

Escrevo explicitamente o quadrado do produto usando a definição a^{2}=a*a. Assim a hipótese pode ser reescrita como
(x*y)*(x*y) = (x*x)*(y*y),\quad \forall x,y\in G.
Por associatividade não preciso pôr parênteses demais, mas é útil ver a sequência dos fatores:
x*y*x*y = x*x*y*y.

Passo 3

Agora vou usar inversos para “cancelar” fatores. Multiplico a igualdade da esquerda por x^{-1} à esquerda e por y^{-1} à direita. Isso é permitido porque todo elemento do grupo tem inverso e a multiplicação no grupo preserva igualdades. Faço a operação:
x^{-1}*(x*y*x*y)*y^{-1} = x^{-1}*(x*x*y*y)*y^{-1}.

Passo 4

Simplifico cada membro usando associatividade e a definição de inverso. No membro esquerdo:
x^{-1}*(x*y*x*y)*y^{-1} = (x^{-1}*x)*y*x*(y*y^{-1}).
Como x^{-1}*x=e e y*y^{-1}=e, isso reduz a
e*y*x*e = y*x.
No membro direito:
x^{-1}*(x*x*y*y)*y^{-1} = (x^{-1}*x)*x*y*y*y^{-1} = e*x*y*e = x*y.

Passo 5

Das igualdades do Passo 4 obtemos
y*x = x*y,
para quaisquer x,y\in G. Isso é exatamente a condição de comutatividade.

Resposta

G é abeliano.

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