Seja
um grupo para o qual
. Mostre que
é abeliano. Observação: Se
, então
é o mesmo que
.
Passo 1
O enunciado dá um grupo
e a condição
sendo lembrado que
significa
.
O que pedir: mostrar que é abeliano, isto é, provar que
O que pedir: mostrar que
Informações relevantes: em um grupo temos elemento neutro
, inversos
para todo
, associatividade da operação e a propriedade de cancelamento (podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento ou seu inverso).
Passo 2
Escrevo explicitamente o quadrado do produto usando a definição
. Assim a hipótese pode ser reescrita como
Por associatividade não preciso pôr parênteses demais, mas é útil ver a sequência dos fatores:
Passo 3
Agora vou usar inversos para “cancelar” fatores. Multiplico a igualdade da esquerda por
à esquerda e por
à direita. Isso é permitido porque todo elemento do grupo tem inverso e a multiplicação no grupo preserva igualdades. Faço a operação:
Passo 4
Simplifico cada membro usando associatividade e a definição de inverso. No membro esquerdo:
Como
e
, isso reduz a
No membro direito:
Passo 5
Das igualdades do Passo 4 obtemos
para quaisquer
. Isso é exatamente a condição de comutatividade.