Sejam A, B e C eventos do espaço amostral \Omega, temos:
(A \cup B)^{c}=\left(A^{c} \cap B^{c}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando teoria de conjuntos, a lei de De Morgan para dois eventos A e B:
(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}.
Aqui o que precisamos são as definições de união, interseção e complementar:
x \in A \cup B significa que x\in A ou x\in B.
x \in A^{c} significa que x\notin A.

Passo 2

Mostramos primeiro que
(A \cup B)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c}.
Seja x \in (A \cup B)^{c}. Por definição de complementar, x\notin A \cup B. Logo não vale nem x\in A nem x\in B. Isso quer dizer que simultaneamente x\notin A e x\notin B, ou seja x\in A^{c} e x\in B^{c}. Assim x\in A^{c}\cap B^{c}.

Passo 3

Agora mostramos
A^{c} \cap B^{c} \subseteq (A \cup B)^{c}.
Seja x \in A^{c}\cap B^{c}. Então x\in A^{c} e x\in B^{c}, isto é, x\notin A e x\notin B. Logo x\notin A \cup B, o que implica x\in (A \cup B)^{c}.

Passo 4

Como temos as duas inclusões
(A \cup B)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c} \quad\text{e}\quad A^{c} \cap B^{c} \subseteq (A \cup B)^{c},
concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}.

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