Sejam A, B e C eventos do espaço amostral \Omega, temos:
(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos de eventos, ou seja, mostrar que
(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C).
Estamos trabalhando com álgebra de conjuntos e vamos usar o método de inclusão dupla: provar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Provar (A \cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C).
Seja x um elemento de (A \cap B) \cup C. Então ou
  1. x \in A \cap B, o que implica x \in A e x \in B. Logo x \in A \cup C e x \in B \cup C, portanto x \in (A \cup C) \cap (B \cup C);
  2. ou x \in C. Nesse caso x também pertence a A \cup C e a B \cup C.
Em ambos os casos x \in (A \cup C) \cap (B \cup C), logo
(A \cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C).

Passo 3

Provar (A \cup C) \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup C.
Seja x um elemento de (A \cup C) \cap (B \cup C). Então
x \in A \cup C \quad\text{e}\quad x \in B \cup C.
Se x \in C, concluímos imediatamente x \in (A \cap B) \cup C.
Caso contrário, x \notin C, mas como x \in A \cup C e x \notin C, segue x \in A; de modo semelhante x \in B. Assim x \in A \cap B, e portanto
x \in (A \cap B) \cup C.
Logo
(A \cup C) \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup C.

Resposta

(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C).

Exercícios relacionados