Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral Ω. Verifique que:
(e) A=B então A^{c}=B^{c}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um mesmo espaço amostral \Omega, a igualdade de eventos A = B implica a igualdade dos seus complementares, ou seja,
A = B \quad\Longrightarrow\quad A^{c} = B^{c}.
O conteúdo envolve definição de complementar e prova de igualdade de conjuntos por dupla inclusão.

Passo 2

Prova de A^{c}\subset B^{c}: seja x um elemento arbitrário de A^{c}. Então, por definição de complemento,
x\in A^{c}\quad\Longrightarrow\quad x\notin A.
Como A=B, todo elemento de A está em B e vice-versa. Logo, x\notin A implica x\notin B. Novamente pela definição de complemento, x\notin B implica
x\in B^{c}.
Portanto x\in A^{c} leva a x\in B^{c}, o que mostra A^{c}\subset B^{c}.

Passo 3

Prova de B^{c}\subset A^{c}: o raciocínio é análogo. Tome y\in B^{c}. Então y\notin B. Como A=B, segue y\notin A. Logo y\in A^{c}. Concluímos B^{c}\subset A^{c}.

Resposta

Da dupla inclusão A^{c}\subset B^{c} e B^{c}\subset A^{c} obtém-se
A^{c} = B^{c}.

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