Suponha que se lança três moedas idênticas e perfeitamente equilibradas. Seja Ai o evento de observar cara na i-ésima moeda. Mostre que os eventos A1, A2 e A3 são mutuamente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar três moedas iguais e justas. Queremos mostrar que os eventos de sair cara em cada uma das moedas são mutuamente independentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e o conceito de independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa eventos serem mutuamente independentes. Três eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ são mutuamente independentes se:
  1. $ P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) $
  2. E todas as combinações de dois eventos também são independentes, ou seja:
    • $ P(A_1) \times P(A_2) = P(A_1 \cap A_2) $
    • $ P(A_1) \times P(A_3) = P(A_1 \cap A_3) $
    • $ P(A_2) \times P(A_3) = P(A_2 \cap A_3) $

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada evento individualmente. Como as moedas são justas:
  • $ P(A_1) = \frac{1}{2} $
  • $ P(A_2) = \frac{1}{2} $
  • $ P(A_3) = \frac{1}{2} $

Passo 4

Agora, vamos verificar a independência de cada par de eventos.
  • Para $ A_1 $ e $ A_2 $:
    • $ P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
    • $ P(A_1) \times P(A_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
    • Como $ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2) $, eles são independentes.
  • O mesmo raciocínio vale para os pares $ A_1 $ e $ A_3 $, e $ A_2 $ e $ A_3 $.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a independência conjunta dos três eventos.
  • $ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
  • E $ P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
  • Como são iguais, os três eventos são mutuamente independentes.

Resposta

Os eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ são mutuamente independentes.

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