Suponha que se lança três moedas idênticas e perfeitamente equilibradas. Seja
o evento de observar cara na
-ésima moeda. Mostre que os eventos
e
são mutuamente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar três moedas iguais e justas. Queremos mostrar que os eventos de sair cara em cada uma das moedas são mutuamente independentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e o conceito de independência de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa eventos serem mutuamente independentes. Três eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ são mutuamente independentes se:
- $ P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) $
- E todas as combinações de dois eventos também são independentes, ou seja:
- $ P(A_1) \times P(A_2) = P(A_1 \cap A_2) $
- $ P(A_1) \times P(A_3) = P(A_1 \cap A_3) $
- $ P(A_2) \times P(A_3) = P(A_2 \cap A_3) $
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de cada evento individualmente. Como as moedas são justas:
- $ P(A_1) = \frac{1}{2} $
- $ P(A_2) = \frac{1}{2} $
- $ P(A_3) = \frac{1}{2} $
Passo 4
Agora, vamos verificar a independência de cada par de eventos.
-
Para $ A_1 $ e $ A_2 $:
- $ P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
- $ P(A_1) \times P(A_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $
- Como $ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2) $, eles são independentes.
-
O mesmo raciocínio vale para os pares $ A_1 $ e $ A_3 $, e $ A_2 $ e $ A_3 $.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a independência conjunta dos três eventos.
- $ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
- E $ P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $
- Como são iguais, os três eventos são mutuamente independentes.
Resposta
Os eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ são mutuamente independentes.