Sejam a, b, c \in \mathbb{Z}. Mostre que:
Se a e b são primos entre si, então m d c(a+b, a-b)=1 ou 2.

Passo 1

O enunciado nos dá os números inteiros a,b,c (o c não é usado na prova) e afirma que a e b são primos entre si, ou seja, \gcd(a,b)=1. O que precisamos mostrar é que o máximo divisor comum de a+b e a-b só pode ser 1 ou 2. Em outras palavras, provar que \gcd(a+b,a-b) é igual a 1 ou igual a 2.
Informações relevantes dadas:
  • a,b\in\mathbb{Z}.
  • \gcd(a,b)=1.
O que é pedido:
  • Mostrar que \gcd(a+b,a-b) é 1 ou 2.

Passo 2

Definimos d=\gcd(a+b,a-b). Pela definição de máximo divisor comum, temos que d é um inteiro positivo e que
d \mid (a+b) \qquad\text{e}\qquad d \mid (a-b).
Aqui estou usando a notação x\mid y para indicar “ x divide y”.

Passo 3

Usando que d divide ambos a+b e a-b, podemos formar combinações lineares dessas duas quantidades. Em particular, somando e subtraindo:
(a+b)+(a-b)=2a,
(a+b)-(a-b)=2b.
Como d divide a+b e também a-b, ele deve dividir qualquer combinação inteira dessas duas quantidades. Logo
d \mid 2a \qquad\text{e}\qquad d \mid 2b.
(Comentário didático rápido: a propriedade usada é simples: se d\mid x e d\mid y, então para quaisquer inteiros u,v vale d\mid(ux+vy). Aqui usamos u=v=1 e u=1,v=-1.)

Passo 4

Agora vamos analisar os possíveis divisores primos de d. Seja p um primo que divide d. Então, por d\mid 2a e d\mid 2b, temos p\mid 2a e p\mid 2b.
  • Se p for um primo ímpar (ou seja, p\neq2), então p não divide 2. Assim, de p\mid 2a segue p\mid a, e de p\mid 2b segue p\mid b. Portanto p dividiria simultaneamente a e b, o que contradiz \gcd(a,b)=1.
Logo nenhum primo ímpar pode dividir d. Assim todos os primos que dividem d devem ser 2. Consequentemente, d é uma potência de 2; existe k\ge 0 tal que
d=2^{k}.

Passo 5

Falta restringir o expoente k. Suponha, por contradição, que k\ge 2. Isso significa que 4\mid d, então 4\mid(a+b) e 4\mid(a-b). Somando essas duas divisibilidades obtemos 4\mid 2a, isto é, 2\mid a, logo a é par. Subtraindo obtemos 4\mid 2b, logo 2\mid b, então b também é par. Mas se a e b são ambos pares, então \gcd(a,b)\ge 2, contradizendo \gcd(a,b)=1.
Portanto não pode ocorrer k\ge 2. Logo k só pode ser 0 ou 1, isto é, d só pode ser 1 ou 2. (Em linguagem de divisibilidade, isso equivale a escrever d\mid 2.)

Passo 6

Comentário final (didático e prático): quando a e b têm paridades diferentes (um é par e o outro ímpar), então a+b e a-b são ímpares e o gcd será 1. Quando a e b são ambos ímpares (único caso em que podem ser coprimos e ter mesma paridade), então a+b e a-b são pares e o gcd será 2. Isso mostra também que os dois valores possíveis, 1 e 2, realmente ocorrem em exemplos concretos.

Resposta

\gcd(a+b,a-b)\in\{1,2\}

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