Sejam
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes hipóteses (todos os símbolos abaixo são inteiros):
-
. -
. -
.
O que precisa ser mostrado:
- Provar que
.
Passo 2
Lembrando o conceito básico de divisibilidade e uma propriedade útil (vou explicar passo a passo):
Definição: dizer que
significa que existe um inteiro
tal que
.
Propriedade importante (linearidade da divisibilidade): se
e
, então para quaisquer inteiros
vale
.
Explicação dessa propriedade: como
e
para alguns
, temos
e como
é inteiro,
divide
. Esta é a ferramenta que iremos usar: qualquer combinação inteira das expressões dadas também é múltipla de
.
Passo 3
Agora vamos procurar uma combinação inteira das quantidades dadas que seja exatamente
. Escrevo uma combinação geral:
onde
são inteiros que ainda vamos escolher.
Queremos que essa combinação deixe o termo em
desaparecer (para ficar só algo vezes
). Assim impomos
Substituindo
na expressão para o coeficiente de
obtemos
Portanto, para
a combinação vale exatamente
:
Passo 4
Escolhendo
(que é um inteiro), temos
e, calculando explicitamente,
Pelo passo 2, como
e
, então
divide qualquer combinação inteira dessas duas quantidades. Em particular,
divide a combinação acima, que é
. Logo
.