Sejam a, b, c \in \mathbb{Z}. Mostre que:
Se a \mid(b-3 c) e a \mid(3 b-8 c), então a \mid c.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes hipóteses (todos os símbolos abaixo são inteiros):
  • a,b,c\in\mathbb{Z}.
  • a\mid (b-3c).
  • a\mid (3b-8c).
O que precisa ser mostrado:
  • Provar que a\mid c.

Passo 2

Lembrando o conceito básico de divisibilidade e uma propriedade útil (vou explicar passo a passo):
Definição: dizer que a\mid x significa que existe um inteiro k tal que x = a k.
Propriedade importante (linearidade da divisibilidade): se a\mid x e a\mid y, então para quaisquer inteiros s,t vale a\mid (s x + t y).
Explicação dessa propriedade: como x = a k e y = a \ell para alguns k,\ell\in\mathbb{Z}, temos
s x + t y = s(a k) + t(a \ell) = a(sk + t\ell),
e como sk+t\ell é inteiro, a divide s x + t y. Esta é a ferramenta que iremos usar: qualquer combinação inteira das expressões dadas também é múltipla de a.

Passo 3

Agora vamos procurar uma combinação inteira das quantidades dadas que seja exatamente c. Escrevo uma combinação geral:
m(b-3c) + n(3b-8c) = (m + 3n)\,b + (-3m -8n)\,c,
onde m,n são inteiros que ainda vamos escolher.
Queremos que essa combinação deixe o termo em b desaparecer (para ficar só algo vezes c). Assim impomos
m + 3n = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -3n.
Substituindo m=-3n na expressão para o coeficiente de c obtemos
-3m - 8n = -3(-3n) - 8n = 9n - 8n = n.
Portanto, para m=-3n a combinação vale exatamente n c:
m(b-3c) + n(3b-8c) = n c.

Passo 4

Escolhendo n=1 (que é um inteiro), temos m=-3 e, calculando explicitamente,
-3(b-3c) + 1\cdot(3b-8c) = c.
Pelo passo 2, como a\mid(b-3c) e a\mid(3b-8c), então a divide qualquer combinação inteira dessas duas quantidades. Em particular, a divide a combinação acima, que é c. Logo a\mid c.

Resposta

\,a\mid c

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