Se
, quais os possíveis valores de
?
Passo 1
O enunciado pede: para
, quais são os possíveis valores de
?
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um inteiro qualquer. - Deve-se determinar todos os valores possíveis do máximo divisor comum entre
e .
Não se resolve nada aqui ainda; apenas sei que quero a lista de valores quepode assumir quando varia por todos os inteiros.
Passo 2
Vou usar uma propriedade básica de divisibilidade que é muito útil: se um inteiro
divide dois números
e
, então
também divide qualquer combinação linear inteira deles, em particular a diferença
. Formalmente, se
e
então
.
Aplicando isso ao nosso caso: seja
. Pela definição de máximo divisor comum temos
Pela propriedade anterior,
divide a diferença
ou seja,
Passo 3
Conseqüência imediata: qualquer divisor comum de
e
divide
. Logo
é um divisor positivo de
. Os divisores inteiros de
são
e
, e por convenção
é não negativo, então os candidatos possíveis são
Passo 4
Agora preciso verificar que ambos os valores realmente ocorrem (existência):
- Se
(isto é, para algum ), então divide tanto quanto , e não pode haver divisor comum maior que . Assim . Exemplo concreto: para tem-se . - Se
, então o único divisor comum de e entre os divisores de é . Portanto . Exemplo concreto: para tem-se .
Assim ambos os valores
e
aparecem realmente, e não há outros possíveis.