Se n \in \mathbb{Z}, quais os possíveis valores de m d c(n, n+7) ?

Passo 1

O enunciado pede: para n\in\mathbb{Z}, quais são os possíveis valores de \operatorname{mdc}(n,n+7)?
Informações dadas:
  • n é um inteiro qualquer.
  • Deve-se determinar todos os valores possíveis do máximo divisor comum entre n e n+7.
    Não se resolve nada aqui ainda; apenas sei que quero a lista de valores que \operatorname{mdc}(n,n+7) pode assumir quando n varia por todos os inteiros.

Passo 2

Vou usar uma propriedade básica de divisibilidade que é muito útil: se um inteiro d divide dois números a e b, então d também divide qualquer combinação linear inteira deles, em particular a diferença b-a. Formalmente, se d\mid a e d\mid b então d\mid(b-a).
Aplicando isso ao nosso caso: seja d=\operatorname{mdc}(n,n+7). Pela definição de máximo divisor comum temos
d\mid n\quad\text{e}\quad d\mid(n+7).
Pela propriedade anterior, d divide a diferença
(n+7)-n=7,
ou seja,
d\mid 7.

Passo 3

Conseqüência imediata: qualquer divisor comum de n e n+7 divide 7. Logo \operatorname{mdc}(n,n+7) é um divisor positivo de 7. Os divisores inteiros de 7 são \pm1 e \pm7, e por convenção \operatorname{mdc} é não negativo, então os candidatos possíveis são
1\quad\text{ou}\quad 7.

Passo 4

Agora preciso verificar que ambos os valores realmente ocorrem (existência):
  • Se 7\mid n (isto é, n=7k para algum k\in\mathbb{Z}), então 7 divide tanto n quanto n+7, e não pode haver divisor comum maior que 7. Assim \operatorname{mdc}(n,n+7)=7. Exemplo concreto: para n=7 tem-se \operatorname{mdc}(7,14)=7.
  • Se 7\nmid n, então o único divisor comum de n e n+7 entre os divisores de 7 é 1. Portanto \operatorname{mdc}(n,n+7)=1. Exemplo concreto: para n=1 tem-se \operatorname{mdc}(1,8)=1.
Assim ambos os valores 1 e 7 aparecem realmente, e não há outros possíveis.

Resposta

\,1
\,7

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