Suponha que a função
seja contínua, decrescente e positiva. Prove
a)
convergente
convergente.
a)
Passo 1
O exercício quer mostrar que, para uma função contínua, decrescente e positiva
, a convergência da série
implica a convergência do integral impróprio
. O conteúdo principal é o teste de comparação para integrais impróprias, usando a monotonicidade de
.
Passo 2
Como
é decrescente, em cada intervalo
para
temos
para todo
. Logo,
Passo 3
Somando essa desigualdade de
até
obtemos
Passo 4
Como
converge por hipótese, a sequência dos parciais
é limitada por um certo
. Assim,
Passo 5
para todo
. Fazendo
vemos que
existe e é finito, isto é, o integral converge.
Resposta
Pela comparação de
com
e somando, concluímos que
, logo o integral converge.