Suponha que a função f:[0,+infty[ R seja contínua, decrescente e positiva. Prove
a) sumk=0^+infty f(k) convergente Rightarrow integral0^+infty f(x) d x convergente.

Passo 1

O exercício quer mostrar que, para uma função contínua, decrescente e positiva f:[0,+infty[toR, a convergência da série sumk=0^+inftyf(k) implica a convergência do integral impróprio integral0^+inftyf(x),dx. O conteúdo principal é o teste de comparação para integrais impróprias, usando a monotonicidade de f.

Passo 2

Como f é decrescente, em cada intervalo [k,k+1] para kinN temos f(x)<= f(k) para todo xin[k,k+1]. Logo,
integralk^k+1f(x),dx<=integralk^k+1f(k),dx=f(k)cdotl((k+1)-kr)=f(k)

Passo 3

Somando essa desigualdade de k=0 até k=N obtemos
integral0^N+1f(x),dx=sumk=0^Nintegralk^k+1f(x),dx<=sumk=0^Nf(k)

Passo 4

Como sumk=0^+inftyf(k) converge por hipótese, a sequência dos parciais sumk=0^Nf(k) é limitada por um certo S<+infty. Assim,
integral0^N+1f(x),dx<= S

Passo 5

para todo N. Fazendo Nto+infty vemos que integral0^+inftyf(x),dx existe e é finito, isto é, o integral converge.

Resposta

Pela comparação de integralk^k+1f(x),dx com f(k) e somando, concluímos que integral0^+inftyf(x),dx<=sumk=0^+inftyf(k)<+infty, logo o integral converge.

Exercícios relacionados