Sejam a, b e c inteiros com a neq 0. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
mdc(a, b+c)=mdc(a, b)+mdc(a, c)

Passo 1

O enunciado: dados inteiros a,b,c com aneq0, verificar se vale a igualdade gcd(a,b+c)=gcd(a,b)+gcd(a,c). O conteúdo envolve Teoria dos Números e propriedades de máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

Relembrando que gcd(x,y) é o maior inteiro que divide simultaneamente x e y, e não costuma satisfazer propriedade de aditividade sobre o segundo argumento.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta apresentar um contra-exemplo. Vamos escolher valores simples: a=2, b=2 e c=2.

Passo 4

Calcular gcd(2,2+2)=gcd(2,4)=2, enquanto gcd(2,2)=2 e gcd(2,2)=2, cuja soma dá 2+2=4.

Passo 5

Como 2neq4, a igualdade gcd(a,b+c)=gcd(a,b)+gcd(a,c) não se verifica nesse caso, provando que a afirmação é falsa em geral.

Resposta

Falsa. Um contra-exemplo é a=2, b=2, c=2, pois gcd(2,4)=2 mas gcd(2,2)+gcd(2,2)=4.

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