Quais pares de inteiros positivos possuem mdc 18 e mmc 540?

Passo 1

O enunciado pede todos os pares de inteiros positivos (a,b) tais que \gcd(a,b)=18 e \mathrm{lcm}(a,b)=540. Vamos usar a propriedade fundamental de que
\gcd(a,b)\,\mathrm{lcm}(a,b)=a\cdot b
e também o fato de que, se \gcd(a,b)=18, podemos escrever a=18x, b=18y com \gcd(x,y)=1.

Passo 2

Aplicando \gcd(a,b)\,\mathrm{lcm}(a,b)=a b temos
18\cdot 540 = a\,b \;\implies\; a\,b = 9720.
Substituindo a=18x e b=18y obtemos
(18x)(18y)=9720 \;\implies\; 324\,x y = 9720 \;\implies\; x y = 30.

Passo 3

Sabendo que \gcd(x,y)=1 e que x e y são positivos com x y=30, precisamos listar todos os pares de divisores de 30 que sejam coprimos. Os divisores de 30 são \{1,2,3,5,6,10,15,30\}. Os pares (x,y) tais que x y=30 e \gcd(x,y)=1 são:
(1,30),\;(2,15),\;(3,10),\;(5,6)
e as permutações invertidas (30,1),(15,2),(10,3),(6,5).

Passo 4

Voltando a (a,b)=(18x,18y), cada um desses pares gera:
(18\cdot1,18\cdot30)=(18,540),\; (18\cdot2,18\cdot15)=(36,270),\; (18\cdot3,18\cdot10)=(54,180),\; (18\cdot5,18\cdot6)=(90,108)
e também as permutações trocando a e b.

Resposta

Os pares de inteiros positivos (a,b) com \gcd(a,b)=18 e \mathrm{lcm}(a,b)=540 são
(18,540),\;(36,270),\;(54,180),\;(90,108)
e as suas inversões (540,18),(270,36),(180,54),(108,90).

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