Sejam a, b, c inteiros tais que a \mid b c. Mostre que se \operatorname{mdc}(a, b)=d então $a \mid d c.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente o que sabemos e o que precisamos mostrar):
  • Sabemos que a, b, c são inteiros.
  • Sabemos que a \mid b c. Ou seja, há um inteiro (vou chamar de k) tal que b c = a k.
  • Sabemos que \operatorname{mdc}(a,b)=d. Isto é, o máximo divisor comum de a e b é d.
  • O objetivo: mostrar que a \mid d c, isto é, que existe um inteiro m tal que d c = a m.
Observação importante: aqui estamos assumindo a\neq 0, porque a notação a\mid x (divisibilidade) só faz sentido usualmente para a não nulo.

Passo 2

Definição e consequência imediata de a\mid b c.
Por definição de divisibilidade, a\mid b c significa que existe um inteiro k tal que
b c = a k.
Vou usar este k explicitamente nas etapas seguintes. Note que k é um número inteiro porque a, b, c são inteiros.

Passo 3

Uso do lema de Bézout (identidade de Bézout) para \gcd(a,b)=d.
Uma consequência fundamental da definição de máximo divisor comum (e do algoritmo de Euclides) é o seguinte: como \gcd(a,b)=d, existem inteiros x e y tais que
a x + b y = d.
Isto é a identidade de Bézout. Aqui x e y são inteiros que dependem de a e b.

Passo 4

Multiplicar a identidade de Bézout por c.
Multiplicando a igualdade da Bézout por c obtemos
a (x c) + b (y c) = d c.
Cada termo desta igualdade é um inteiro, pois a,x,c,b,y são inteiros.

Passo 5

Substituir b c usando a informação do Passo 2 e reorganizar.
Do Passo 2 temos b c = a k. Multiplicando ambos os lados por y (que é inteiro) dá
b (y c) = a (y k).
Substituindo esse termo na igualdade do Passo 4 encontramos
d c = a (x c) + a (y k).
Agrupando fatores a,
d c = a \bigl(x c + y k\bigr).
Aqui x c + y k é um inteiro, sendo soma e produto de inteiros.

Passo 6

Conclusão final com interpretação de divisibilidade.
Da igualdade
d c = a \bigl(x c + y k\bigr)
conclui-se que a divide d c, pois d c é múltiplo de a. Ou seja, existe um inteiro (especificamente m = x c + y k) tal que d c = a m. Portanto finalmente provamos que a \mid d c.
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome a=6, b=15, c=4. Então \gcd(6,15)=3=d, e 6\mid 15\cdot4 porque 15\cdot4=60=6\cdot10. A identidade de Bézout dá inteiros x,y tais que 6x+15y=3; multiplicando por 4 e usando 15\cdot4=6\cdot10 obtemos que 6 divide 3\cdot4=12, como a prova afirma.

Resposta

a \mid d c

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